ID: 00022360
Источник: ФИПИ
Модуль удобнее всего раскрыть по определению — двумя случаями, а потом собрать картину целиком. Перепишем уравнение в виде $x^2 - x + a^2 - 7a = |7x - a|$.
Случай 1: $7x - a \geq 0$. Тогда $|7x - a| = 7x - a$, и уравнение даёт $x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0$. Свернём в «круговой» вид: $(x - 4)^2 + (a - 3)^2 = 25$. Это окружность радиуса $5$ с центром $(4;\ 3)$ в плоскости $(x;\ a)$, но берём только её часть, где $7x \geq a$.
Случай 2: $7x - a < 0$. Тогда $|7x - a| = a - 7x$, и уравнение даёт $x^2 + 6x + a^2 - 8a = 0$, то есть $(x + 3)^2 + (a - 4)^2 = 25$ — вторая окружность радиуса $5$ с центром $(-3;\ 4)$, часть которой с $7x < a$.
Проверим, где эти окружности «сшиваются» — там, где $7x = a$. Подстановка $x = \dfrac{a}{7}$ в исходное уравнение (модуль тогда ноль) даёт $50a^2 - 350a = 0$, то есть $a = 0$ (точка $(0;\ 0)$) и $a = 7$ (точка $(1;\ 7)$). Обе окружности проходят ровно через эти две точки — значит вместе они образуют одну замкнутую линию: правая дуга первой окружности плюс левая дуга второй, склеенные в $(0;\ 0)$ и $(1;\ 7)$.
Задача превратилась в графическую: для каждого $a$ проводим горизонтальную прямую и считаем, сколько раз она пересекает эту составную линию — нам нужно ровно два пересечения. Первая окружность живёт по высоте от $a = -2$ до $a = 8$, вторая — от $a = -1$ до $a = 9$; точки сшивки на высотах $a = 0$ и $a = 7$.
Аккуратно пройдём по высоте. При $-2 < a < -1$ работает только первая окружность (обе её точки лежат в своей зоне $7x \geq a$) — ровно два корня. При $-1 < a < 0$ добавляется вторая окружность, и корней становится четыре. При $0 < a < 7$ внутренние ветви уходят в «чужую» зону и отсекаются — остаются лишь крайняя правая точка первой окружности и крайняя левая второй, ровно два корня. При $7 < a < 8$ снова четыре. При $8 < a < 9$ первая окружность кончилась, работает только вторая — два корня.
На самих границах $a \in \{-2;\ -1;\ 0;\ 7;\ 8;\ 9\}$ получается один или три корня (там дуга касается прямой или проходит через точку сшивки), поэтому все они выколоты. Ответ: $a \in (-2; -1) \cup (0; 7) \cup (8; 9)$. Проверка при $a = 3$: остаются $x = 4 + 5 = 9$ (первая окружность, $63 \geq 3$) и $x = -3 - \sqrt{24} \approx -7{,}9$ (вторая, $7x < 3$) — ровно два корня.