Модуль удобнее всего раскрыть по определению — двумя случаями, а потом собрать картину целиком. Перепишем уравнение в виде x^2 - x + a^2 - 7a = |7x - a|.

Случай 1: 7x - a \geq 0. Тогда |7x - a| = 7x - a, и уравнение даёт x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0. Свернём в «круговой» вид: (x - 4)^2 + (a - 3)^2 = 25. Это окружность радиуса 5 с центром (4;\ 3) в плоскости (x;\ a), но берём только её часть, где 7x \geq a.

Случай 2: 7x - a < 0. Тогда |7x - a| = a - 7x, и уравнение даёт x^2 + 6x + a^2 - 8a = 0, то есть (x + 3)^2 + (a - 4)^2 = 25 — вторая окружность радиуса 5 с центром (-3;\ 4), часть которой с 7x < a.

Проверим, где эти окружности «сшиваются» — там, где 7x = a. Подстановка x = \dfrac{a}{7} в исходное уравнение (модуль тогда ноль) даёт 50a^2 - 350a = 0, то есть a = 0 (точка (0;\ 0)) и a = 7 (точка (1;\ 7)). Обе окружности проходят ровно через эти две точки — значит вместе они образуют одну замкнутую линию: правая дуга первой окружности плюс левая дуга второй, склеенные в (0;\ 0) и (1;\ 7).

Задача превратилась в графическую: для каждого a проводим горизонтальную прямую и считаем, сколько раз она пересекает эту составную линию — нам нужно ровно два пересечения. Первая окружность живёт по высоте от a = -2 до a = 8, вторая — от a = -1 до a = 9; точки сшивки на высотах a = 0 и a = 7.

Аккуратно пройдём по высоте. При -2 < a < -1 работает только первая окружность (обе её точки лежат в своей зоне 7x \geq a) — ровно два корня. При -1 < a < 0 добавляется вторая окружность, и корней становится четыре. При 0 < a < 7 внутренние ветви уходят в «чужую» зону и отсекаются — остаются лишь крайняя правая точка первой окружности и крайняя левая второй, ровно два корня. При 7 < a < 8 снова четыре. При 8 < a < 9 первая окружность кончилась, работает только вторая — два корня.

На самих границах a \in \{-2;\ -1;\ 0;\ 7;\ 8;\ 9\} получается один или три корня (там дуга касается прямой или проходит через точку сшивки), поэтому все они выколоты. Ответ: a \in (-2; -1) \cup (0; 7) \cup (8; 9). Проверка при a = 3: остаются x = 4 + 5 = 9 (первая окружность, 63 \geq 3) и x = -3 - \sqrt{24} \approx -7{,}9 (вторая, 7x < 3) — ровно два корня.