ID: 00013726
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{x^{4}-4x^{2}+9a^{2}}=x^{2}+2x-3a
имеет ровно три различных корня.
Источник: ФИПИ
Снова \sqrt{A}=B: нужно B\ge0 и A=B^2. Цель — ровно три корня.
Разность A-B^2 после упрощения раскладывается, давая корни-кандидаты:
x=0,\qquad x=\tfrac{3a}{2},\qquad x=-2.
Отбираем по условию B=x^2+2x-3a\ge0: для x=\dfrac{3a}{2} правая часть равна \dfrac{9a^2}{4}\ge0 — годится всегда; для x=0 и x=-2 она равна -3a — годится при a\le0.
Три различных корня: a\le0, a\ne0 (иначе x=0=\dfrac{3a}{2}) и a\ne-\dfrac43 (иначе \dfrac{3a}{2}=-2).
Ответ: \left(-\infty;-\dfrac43\right)\cup\left(-\dfrac43;0\right).
\left(-\infty;\,-\dfrac43\right)\cup\left(-\dfrac43;\,0\right)