Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00013726

Снова $\sqrt{A}=B$: нужно $B\ge0$ и $A=B^2$. Цель — ровно три корня.

Разность $A-B^2$ после упрощения раскладывается, давая корни-кандидаты:

$$x=0,\qquad x=\tfrac{3a}{2},\qquad x=-2.$$

Отбираем по условию $B=x^2+2x-3a\ge0$: для $x=\dfrac{3a}{2}$ правая часть равна $\dfrac{9a^2}{4}\ge0$ — годится всегда; для $x=0$ и $x=-2$ она равна $-3a$ — годится при $a\le0$.

Три различных корня: $a\le0$, $a\ne0$ (иначе $x=0=\dfrac{3a}{2}$) и $a\ne-\dfrac43$ (иначе $\dfrac{3a}{2}=-2$).