ID: 00013724
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{4x-1}\cdot\ln\left(x^{2}-2x+2-a^{2}\right)=0
имеет ровно один корень на отрезке [0;1].
Источник: ФИПИ
Та же конструкция \sqrt{4x-1}\cdot\ln(\dots)=0, цель — ровно один корень на [0;1].
ОДЗ: 4x-1\ge0 и x^2-2x+2-a^2\gt 0.
Корень корня: 4x-1=0, то есть x=\dfrac14. Логарифм там определён, если \left(\dfrac14\right)^2-2\cdot\dfrac14+2-a^2=\dfrac{25}{16}-a^2\gt 0, то есть при |a|\lt \dfrac54.
Корни логарифма: x^2-2x+2-a^2=1, то есть (x-1)^2=a^2, откуда x=1\pm a; их оставляем, если они на [0;1] и 4x-1\ge0.
Как и в соседней задаче, пока |a| мало, на отрезке два корня; ровно один остаётся в узкой вилке между \dfrac34 и \dfrac54, где один корень уже вышел, а x=\dfrac14 ещё жив.
Ответ — две симметричные зоны: \left(-\dfrac54;-\dfrac34\right]\cup\left[\dfrac34;\dfrac54\right).
\left(-\dfrac54;\,-\dfrac34\right]\cup\left[\dfrac34;\,\dfrac54\right)