Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013724

Произведение равно нулю — значит ноль либо корень, либо логарифм. ОДЗ: под корнем $4x-1\ge0$, то есть $x\ge\dfrac{1}{4}$ (на $[0;1]$ остаётся $\left[\dfrac{1}{4};1\right]$), и аргумент логарифма $x^2-2x+2-a^2>0$.

1) $\sqrt{4x-1}=0$ даёт $x=\dfrac{1}{4}$. Логарифм там определён, если $\left(\dfrac{1}{4}\right)^2-2\cdot\dfrac{1}{4}+2-a^2=\dfrac{25}{16}-a^2>0$, то есть $|a|<\dfrac{5}{4}$.

2) $\ln(\ldots)=0$ значит $x^2-2x+2-a^2=1$, то есть $x^2-2x+1=a^2$, или $(x-1)^2=a^2$. Отсюда $x=1-a$ или $x=1+a$ (аргумент в этих точках равен $1>0$ — законно). Загоняем в $\left[\dfrac{1}{4};1\right]$: $x=1-a\in\left[\dfrac{1}{4};1\right]$ при $0\le a\le\dfrac{3}{4}$; $x=1+a\in\left[\dfrac{1}{4};1\right]$ при $-\dfrac{3}{4}\le a\le0$.

Задача симметрична по знаку $a$ (везде стоит либо $a^2$, либо пара $1\pm a$), поэтому разберём $a\ge0$, а для $a<0$ ответ отразим.

• при $a=0$ есть $x=\dfrac{1}{4}$ и $x=1$ (корни $1\pm a$ слились в $1$): два корня — не годится;

• при $0</p><p>• при$a=\dfrac{3}{4}$корень$x=1-a=\dfrac{1}{4}$совпал с первым, а$x=1+a$вне отрезка: ровно один — годится;</p><p>• при$\dfrac{3}{4}1$вне отрезка, остаётся$x=\dfrac{1}{4}$: ровно один — годится;</p><p>• при$a\ge\dfrac{5}{4}$точка$\dfrac{1}{4}$вне ОДЗ (ведь$\dfrac{25}{16}-a^2\le0$):$0$корней.</p><p>Для$a\ge0$подходит$\left[\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4}\right)$, а по симметрии для$a\le0$—$\left(-\dfrac{5}{4};-\dfrac{3}{4}\right]$.</p><p>Ответ:$a\in\left(-\dfrac{5}{4};-\dfrac{3}{4}\right]\cup\left[\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4}\right)$. Границы: при$a=\dfrac{3}{4}$два корня склеились в$\dfrac{1}{4}$— один, берём; при$a=\dfrac{5}{4}$логарифм в точке$\dfrac{1}{4}$ умирает — не берём. Всё сходится.