ID: 00013724
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{4x-1}\cdot\ln\left(x^{2}-2x+2-a^{2}\right)=0$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
Источник: ФИПИ
Та же конструкция $\sqrt{4x-1}\cdot\ln(\dots)=0$, цель — ровно один корень на $[0;1]$.
ОДЗ: $4x-1\ge0$ и $x^2-2x+2-a^2\gt 0$.
Корень корня: $4x-1=0$, то есть $x=\dfrac14$. Логарифм там определён, если $\left(\dfrac14\right)^2-2\cdot\dfrac14+2-a^2=\dfrac{25}{16}-a^2\gt 0$, то есть при $|a|\lt \dfrac54$.
Корни логарифма: $x^2-2x+2-a^2=1$, то есть $(x-1)^2=a^2$, откуда $x=1\pm a$; их оставляем, если они на $[0;1]$ и $4x-1\ge0$.
Как и в соседней задаче, пока $|a|$ мало, на отрезке два корня; ровно один остаётся в узкой вилке между $\dfrac34$ и $\dfrac54$, где один корень уже вышел, а $x=\dfrac14$ ещё жив.
Ответ — две симметричные зоны: $\left(-\dfrac54;-\dfrac34\right]\cup\left[\dfrac34;\dfrac54\right)$.
$\left(-\dfrac54;\,-\dfrac34\right]\cup\left[\dfrac34;\,\dfrac54\right)$