Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013721

Снова слева и справа общий множитель — на этот раз корень $\sqrt{2-3x}$. Переносим и выносим: $\sqrt{2-3x}\bigl(\ln(16x^2-a^2)-\ln(4x+a)\bigr)=0$. Сразу ОДЗ: под корнем $2-3x\ge0$, то есть $x\le\dfrac{2}{3}$ — значит на $[0;1]$ реально живёт только кусок $\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$. Плюс оба логарифма положительны: $16x^2-a^2>0$ и $4x+a>0$.

Первый множитель: $\sqrt{2-3x}=0$ даёт $x=\dfrac{2}{3}$. Годится, если логарифмы в этой точке определены: $16\cdot\dfrac{4}{9}-a^2=\dfrac{64}{9}-a^2&gt;0$ и $\dfrac{8}{3}+a&gt;0$, то есть $-\dfrac{8}{3}</p><p>Второй множитель:$\ln(16x^2-a^2)=\ln(4x+a)$, значит$16x^2-a^2=4x+a$. Слева раскладывается:$16x^2-a^2=(4x-a)(4x+a)$. Получаем$(4x+a)(4x-a)=(4x+a)$, то есть$(4x+a)(4x-a-1)=0$. Но в ОДЗ$4x+a>0$, поэтому остаётся$4x-a-1=0$, откуда$x=\dfrac{a+1}{4}$. В этой точке$4x+a=2a+1$, логарифм существует при$2a+1>0$, то есть$a>-\dfrac{1}{2}$. И корень должен попасть в$\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$: условие$x\le\dfrac{2}{3}$даёт$a\le\dfrac{5}{3}$, а$x\ge0$уже обеспечено. Значит$x=\dfrac{a+1}{4}$работает при$-\dfrac{1}{2}

Заметим склейку: при $a=\dfrac{5}{3}$ второй корень $x=\dfrac{a+1}{4}=\dfrac{2}{3}$ совпадает с первым.

• при $a\le-\dfrac{8}{3}$ первый корень вне ОДЗ, второго нет: $0$ корней;

• при $-\dfrac{8}{3}</p><p>• при$-\dfrac{1}{2}

• при $a=\dfrac{5}{3}$ корни слились в $x=\dfrac{2}{3}$: ровно один — годится;

• при $\dfrac{5}{3}</p><p>• при$a\ge\dfrac{8}{3}$точка$\dfrac{2}{3}$вне ОДЗ (ведь$16x^2-a^2\le0$):$0$корней.</p><p>Ответ:$a\in\left(-\dfrac{8}{3};-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3}\right)$. Границы: при$a=-\dfrac{1}{2}$второй логарифм умирает — остаётся один корень, берём точку$-\dfrac{1}{2}$; при$a=-\dfrac{8}{3}$и$a=\dfrac{8}{3}$корней нет — не берём; при$a=\dfrac{5}{3}$ склейка даёт один корень — берём. Всё сходится.