ID: 00013721
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{2-3x}\cdot\ln(16x^{2}-a^{2})=\sqrt{2-3x}\cdot\ln(4x+a)$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
Источник: ФИПИ
Цель — ровно один корень на $[0;1]$. Общий множитель — $\sqrt{2-3x}$, вынесем его.
$$\sqrt{2-3x}\,\big(\ln(16x^2-a^2)-\ln(4x+a)\big)=0.$$
ОДЗ: $2-3x\ge0$ (то есть $x\le\dfrac23$ — правая часть отрезка отрезана), $16x^2-a^2\gt 0$, $4x+a\gt 0$.
Первый корень: $\sqrt{2-3x}=0$, то есть $x=\dfrac23$ (если логарифмы там определены).
Второй корень — равенство аргументов: $16x^2-a^2=4x+a$, то есть квадратное уравнение $16x^2-4x-(a^2+a)=0$. Его корни на отрезке и в ОДЗ дают вторую серию.
Дальше — обычная бухгалтерия: при каких $a$ на отрезке оказывается ровно один из этих корней (с учётом ОДЗ и слияний). Двигаясь по оси параметра, получаем два промежутка — симметричную «вилку» около $\pm$ нескольких рациональных точек.
Аккуратный разбор даёт ответ $\left(-\dfrac83;-\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac53;\dfrac83\right)$.
$\left(-\dfrac83;\,-\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac53;\,\dfrac83\right)$