ID: 00013723
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{x+2a}\cdot\ln(x-a)=(x-1)\cdot\ln(x-a)$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
Источник: ФИПИ
Цель — ровно один корень на $[0;1]$. Здесь общий множитель — логарифм $\ln(x-a)$, вынесем его.
$$\ln(x-a)\,\big(\sqrt{x+2a}-(x-1)\big)=0.$$
ОДЗ: $x-a\gt 0$ (под логарифмом строго больше нуля) и $x+2a\ge0$ (под корнем неотрицательно).
Первый корень: $\ln(x-a)=0$, то есть $x-a=1$, откуда $x=a+1$ (если он на отрезке и в ОДЗ).
Второй корень — из $\sqrt{x+2a}=x-1$. Корень неотрицателен, значит правая часть тоже: $x-1\ge0$, а на отрезке $[0;1]$ это лишь точка $x=1$. После возведения в квадрат: $x+2a=(x-1)^2$.
Перебирая, при каких $a$ на отрезке остаётся ровно один корень (с учётом ОДЗ и совпадений), получаем изолированную точку $a=-\dfrac12$ и отрезок $\left[-\dfrac13;0\right]$.
$\left\{-\dfrac12\right\}\cup\left[-\dfrac13;\,0\right]$