ID: 00013723
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{x+2a}\cdot\ln(x-a)=(x-1)\cdot\ln(x-a)
имеет ровно один корень на отрезке [0;1].
Источник: ФИПИ
Цель — ровно один корень на [0;1]. Здесь общий множитель — логарифм \ln(x-a), вынесем его.
\ln(x-a)\,\big(\sqrt{x+2a}-(x-1)\big)=0.
ОДЗ: x-a\gt 0 (под логарифмом строго больше нуля) и x+2a\ge0 (под корнем неотрицательно).
Первый корень: \ln(x-a)=0, то есть x-a=1, откуда x=a+1 (если он на отрезке и в ОДЗ).
Второй корень — из \sqrt{x+2a}=x-1. Корень неотрицателен, значит правая часть тоже: x-1\ge0, а на отрезке [0;1] это лишь точка x=1. После возведения в квадрат: x+2a=(x-1)^2.
Перебирая, при каких a на отрезке остаётся ровно один корень (с учётом ОДЗ и совпадений), получаем изолированную точку a=-\dfrac12 и отрезок \left[-\dfrac13;0\right].
\left\{-\dfrac12\right\}\cup\left[-\dfrac13;\,0\right]