Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013723

Здесь общий множитель — логарифм $\ln(x-a)$. Переносим и выносим: $\ln(x-a)\bigl(\sqrt{x+2a}-(x-1)\bigr)=0$. ОДЗ: под корнем $x+2a\ge0$, под логарифмом $x-a>0$.

Первый множитель: $\ln(x-a)=0$, значит $x-a=1$, откуда $x=a+1$. Нужно, чтобы корень существовал: $x+2a\ge0$, то есть $(a+1)+2a=3a+1\ge0$, откуда $a\ge-\dfrac{1}{3}$. В отрезок $[0;1]$: $0\le a+1\le1$, то есть $-1\le a\le0$. Вместе $x=a+1$ работает при $-\dfrac{1}{3}\le a\le0$.

Второй множитель: $\sqrt{x+2a}=x-1$. Корень слева неотрицателен, а на $[0;1]$ правая часть $x-1\le0$. Равенство возможно, только когда обе части равны нулю: $x-1=0$ и $x+2a=0$, то есть $x=1$ и $a=-\dfrac{1}{2}$. Проверяем ОДЗ логарифма: $x-a=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}>0$ — законно. Значит этот множитель даёт корень $x=1$ ровно при $a=-\dfrac{1}{2}$.

Считаем:

• при $a<-\dfrac{1}{2}$ первый корень вне ОДЗ (ведь $a<-\dfrac{1}{3}$), второго нет: $0$ корней;

• при $a=-\dfrac{1}{2}$ первого корня нет, но второй даёт $x=1$: ровно один — годится;

• при $-\dfrac{1}{2}</p><p>• при$-\dfrac{1}{3}\le a\le0$работает только$x=a+1$(второго корня нет, ведь$a\ne-\dfrac{1}{2}$): ровно один — годится;</p><p>• при$a>0$точка$x=a+1>1$вне отрезка, второго нет:$0$корней.</p><p>Ответ:$a\in\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\cup\left[-\dfrac{1}{3};0\right]$. Проверим концы: при$a=-\dfrac{1}{3}$корень$x=\dfrac{2}{3}$, под корнем ровно ноль — законно, берём; при$a=0$корень$x=1$— берём; отдельная точка$a=-\dfrac{1}{2}$даёт единственный корень$x=1$ из второго множителя. Всё сходится.