Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений…

В системе неизвестных два — x и y, а буква a — параметр, то есть «настройка»: для каждого a получается своя система. Решение системы — это пара чисел (x;y), и нам нужно поймать те настройки, при которых таких пар ровно две.

Метод назову словами: графический (координатный). Каждое уравнение системы задаёт на плоскости свою линию, а решения — это точки, где линии пересекаются. Параметр a при этом сам линий не двигает, он лишь «разрешает» или «запрещает» уже найденные точки через область определения логарифма. Такой метод здесь удобнее всего: линии оказываются окружностью и двумя прямыми, а их пересечения считаются в два действия.

Шаг 1. Разбираемся с логарифмами. Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число под знаком логарифма. Функция \log_{11}u строго возрастает, то есть разным числам u отвечают разные значения логарифма. Поэтому равенство \log_{11}\left(a-y^{2}\right)=\log_{11}\left(a-x^{2}\right) равносильно равенству самих аргументов: a-y^{2}=a-x^{2}.

Но одного этого мало: логарифм существует только от положительного числа. Значит, обязательно должно выполняться a-x^{2}\gt 0 (и то же самое для a-y^{2}, но после равенства аргументов это одно и то же условие). Это ограничение — самое главное в задаче, именно через него параметр и работает.

Из a-y^{2}=a-x^{2} сокращаем a и получаем x^{2}=y^{2}. Разность квадратов раскладывается на множители: x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой, поэтому y=x или y=-x. На плоскости это две прямые — биссектрисы координатных углов.

Шаг 2. Разбираемся со вторым уравнением. Соберём полные квадраты. Перенесём всё влево: x^{2}-2x+y^{2}-6y=0. Дополняем: x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1 и y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9. Получаем (x-1)^{2}-1+(y-3)^{2}-9=0, то есть

(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=10.

Это окружность с центром в точке (1;3) и радиусом \sqrt{10}.

Шаг 3. Ищем точки пересечения. Здесь удобно подставлять прямые прямо в исходную форму x^{2}+y^{2}=2x+6y — так меньше арифметики.

Случай 1 — когда y=x. Подставляем: x^{2}+x^{2}=2x+6x, то есть 2x^{2}=8x, или 2x^{2}-8x=0, то есть 2x(x-4)=0. Отсюда x=0 или x=4. Так как y=x, получаем точки (0;0) и (4;4).

Случай 2 — когда y=-x. Подставляем: x^{2}+x^{2}=2x+6\cdot(-x), то есть 2x^{2}=2x-6x=-4x, или 2x^{2}+4x=0, то есть 2x(x+2)=0. Отсюда x=0 или x=-2. Так как y=-x, при x=0 выходит y=0, а при x=-2 выходит y=2. Получаем точки (0;0) и (-2;2).

Итого разных точек-кандидатов три: (0;0), (4;4) и (-2;2). Точка (0;0) встретилась дважды, но считаем её один раз — решения должны быть различными.

Шаг 4. Включаем параметр. Кандидат становится настоящим решением только если для него выполнено условие a-x^{2}\gt 0, то есть a\gt x^{2}. Подставим координаты каждой точки.

Для (0;0): a\gt 0^{2}, то есть a\gt 0.

Для (-2;2): a\gt (-2)^{2}=4, то есть a\gt 4.

Для (4;4): a\gt 4^{2}=16, то есть a\gt 16.

Шаг 5. Считаем, сколько точек «выживает». Расставим пороги 0, 4, 16 на числовой оси.

Если a\le 0, не проходит ни одна точка — решений нет.

Если 0\lt a\le 4, проходит только (0;0) — одно решение.

Если 4\lt a\le 16, проходят (0;0) и (-2;2), а точка (4;4) ещё не проходит, ведь для неё нужно строгое a\gt 16. Получается ровно два решения — это то, что нужно.

Если a\gt 16, проходят все три точки — три решения, слишком много.

Обратите внимание на границы. Значение a=4 не годится: тогда для точки (-2;2) выходит a-x^{2}=4-4=0, а логарифм нуля не существует. А вот a=16 годится: тогда для (4;4) получается 16-16=0, эта точка выпадает, и остаются ровно две нужные нам.

Проверим себя. Возьмём a=10: точка (0;0) даёт 10-0=10\gt 0 — годится; точка (-2;2) даёт 10-4=6\gt 0 — годится; точка (4;4) даёт 10-16=-6\lt 0 — не годится. Ровно два решения, всё сходится.