Задание 19 ЕГЭ по математике №00028819

В системе неизвестных два — $x$ и $y$, а буква $a$ — параметр, то есть «настройка»: для каждого $a$ получается своя система. Решение системы — это пара чисел $(x;y)$, и нам нужно поймать те настройки, при которых таких пар ровно две.

Метод назову словами: графический (координатный). Каждое уравнение системы задаёт на плоскости свою линию, а решения — это точки, где линии пересекаются. Параметр $a$ при этом сам линий не двигает, он лишь «разрешает» или «запрещает» уже найденные точки через область определения логарифма. Такой метод здесь удобнее всего: линии оказываются окружностью и двумя прямыми, а их пересечения считаются в два действия.

Шаг 1. Разбираемся с логарифмами. Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число под знаком логарифма. Функция $\log_{11}u$ строго возрастает, то есть разным числам $u$ отвечают разные значения логарифма. Поэтому равенство $\log_{11}\left(a-y^{2}\right)=\log_{11}\left(a-x^{2}\right)$ равносильно равенству самих аргументов: $a-y^{2}=a-x^{2}$.

Но одного этого мало: логарифм существует только от положительного числа. Значит, обязательно должно выполняться $a-x^{2}\gt 0$ (и то же самое для $a-y^{2}$, но после равенства аргументов это одно и то же условие). Это ограничение — самое главное в задаче, именно через него параметр и работает.

Из $a-y^{2}=a-x^{2}$ сокращаем $a$ и получаем $x^{2}=y^{2}$. Разность квадратов раскладывается на множители: $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой, поэтому $y=x$ или $y=-x$. На плоскости это две прямые — биссектрисы координатных углов.

Шаг 2. Разбираемся со вторым уравнением. Соберём полные квадраты. Перенесём всё влево: $x^{2}-2x+y^{2}-6y=0$. Дополняем: $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$ и $y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9$. Получаем $(x-1)^{2}-1+(y-3)^{2}-9=0$, то есть

$$(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=10.$$

Это окружность с центром в точке $(1;3)$ и радиусом $\sqrt{10}$.

Шаг 3. Ищем точки пересечения. Здесь удобно подставлять прямые прямо в исходную форму $x^{2}+y^{2}=2x+6y$ — так меньше арифметики.

Случай 1 — когда $y=x$. Подставляем: $x^{2}+x^{2}=2x+6x$, то есть $2x^{2}=8x$, или $2x^{2}-8x=0$, то есть $2x(x-4)=0$. Отсюда $x=0$ или $x=4$. Так как $y=x$, получаем точки $(0;0)$ и $(4;4)$.

Случай 2 — когда $y=-x$. Подставляем: $x^{2}+x^{2}=2x+6\cdot(-x)$, то есть $2x^{2}=2x-6x=-4x$, или $2x^{2}+4x=0$, то есть $2x(x+2)=0$. Отсюда $x=0$ или $x=-2$. Так как $y=-x$, при $x=0$ выходит $y=0$, а при $x=-2$ выходит $y=2$. Получаем точки $(0;0)$ и $(-2;2)$.

Итого разных точек-кандидатов три: $(0;0)$, $(4;4)$ и $(-2;2)$. Точка $(0;0)$ встретилась дважды, но считаем её один раз — решения должны быть различными.

Шаг 4. Включаем параметр. Кандидат становится настоящим решением только если для него выполнено условие $a-x^{2}\gt 0$, то есть $a\gt x^{2}$. Подставим координаты каждой точки.

Для $(0;0)$: $a\gt 0^{2}$, то есть $a\gt 0$.

Для $(-2;2)$: $a\gt (-2)^{2}=4$, то есть $a\gt 4$.

Для $(4;4)$: $a\gt 4^{2}=16$, то есть $a\gt 16$.

Шаг 5. Считаем, сколько точек «выживает». Расставим пороги $0$, $4$, $16$ на числовой оси.

Если $a\le 0$, не проходит ни одна точка — решений нет.

Если $0\lt a\le 4$, проходит только $(0;0)$ — одно решение.

Если $4\lt a\le 16$, проходят $(0;0)$ и $(-2;2)$, а точка $(4;4)$ ещё не проходит, ведь для неё нужно строгое $a\gt 16$. Получается ровно два решения — это то, что нужно.

Если $a\gt 16$, проходят все три точки — три решения, слишком много.

Обратите внимание на границы. Значение $a=4$ не годится: тогда для точки $(-2;2)$ выходит $a-x^{2}=4-4=0$, а логарифм нуля не существует. А вот $a=16$ годится: тогда для $(4;4)$ получается $16-16=0$, эта точка выпадает, и остаются ровно две нужные нам.

Проверим себя. Возьмём $a=10$: точка $(0;0)$ даёт $10-0=10\gt 0$ — годится; точка $(-2;2)$ даёт $10-4=6\gt 0$ — годится; точка $(4;4)$ даёт $10-16=-6\lt 0$ — не годится. Ровно два решения, всё сходится.