Задание 18 ЕГЭ по математике №00028786

Решением системы считается пара чисел $(x;y)$, которая подходит сразу в оба уравнения. Первое уравнение с параметром выглядит тяжело, зато второе — без параметра, и именно с него надо начинать: оно раскладывается на множители, а значит распадается на два простых условия.

Работаем со вторым уравнением: $x^{2}+y=xy+x$. Перенесём всё влево: $x^{2}-x+y-xy=0$. Сгруппируем: $x(x-1)-y(x-1)=0$, и вынесем общую скобку:

$$(x-1)(x-y)=0.$$

Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей. Получаем два семейства точек: либо $x=1$ (вертикальная прямая), либо $y=x$ (биссектриса первой и третьей четвертей). Все решения системы лежат на одной из этих двух прямых, и надо посчитать, сколько точек первого уравнения на них попадает.

Случай первый: $x=1$. Подставим единицу в первое уравнение: $a\cdot 1+ay^{2}-(2a-5)\cdot 1+2ay+1=0$. Раскроем скобку: $a+ay^{2}-2a+5+2ay+1=0$. Приведём подобные слагаемые с $a$: $a-2a=-a$, а числа дают $5+1=6$. Остаётся

$$ay^{2}+2ay-a+6=0.$$

Случай второй: $y=x$. Подставим в первое уравнение: $ax^{2}+ax^{2}-(2a-5)x+2ax+1=0$, то есть $2ax^{2}-2ax+5x+2ax+1=0$. Слагаемые $-2ax$ и $+2ax$ взаимно уничтожаются, и получается

$$2ax^{2}+5x+1=0.$$

Чтобы решений было ровно четыре, каждое из этих двух уравнений должно дать по два различных корня, и при этом ни одна точка не должна оказаться посчитанной дважды.

Сначала отдельно посмотрим на $a=0$. Тогда первое уравнение случая превращается в $6=0$ — неверное равенство, решений нет; второе даёт $5x+1=0$, то есть одну точку. Всего одна точка, а нужно четыре, поэтому $a=0$ не подходит. Дальше считаем $a\ne 0$, и оба уравнения действительно квадратные.

Для уравнения $ay^{2}+2ay+(6-a)=0$ считаем дискриминант: $D_{1}=(2a)^{2}-4a(6-a)=4a^{2}-24a+4a^{2}=8a^{2}-24a=8a(a-3)$. Два различных корня будут при $D_{1}\gt 0$, то есть при $a(a-3)\gt 0$: это $a\lt 0$ или $a\gt 3$.

Для уравнения $2ax^{2}+5x+1=0$ дискриминант равен $D_{2}=5^{2}-4\cdot 2a\cdot 1=25-8a$. Два различных корня будут при $25-8a\gt 0$, то есть при $a\lt \dfrac{25}{8}$.

Пересекаем оба требования (не забывая $a\ne 0$): подходит либо $a\lt 0$, либо $3\lt a\lt \dfrac{25}{8}$.

Осталось проверить, не совпадают ли какие-то точки. Первый случай даёт точки вида $(1;y)$, второй — точки вида $(x;x)$. Совпасть они могут только в одной точке — $(1;1)$. Подставим $y=1$ в уравнение первого случая: $a+2a-a+6=2a+6$, и это нуль при $a=-3$. Подставим $x=1$ во второе: $2a+5+1=2a+6$, снова нуль при $a=-3$. Значит, ровно при $a=-3$ точка $(1;1)$ принадлежит обоим семействам, и разных решений оказывается не четыре, а три. Это значение исключаем.

Собираем ответ. Из промежутка $a\lt 0$ выкалываем точку $-3$, получая $(-\infty;-3)\cup(-3;0)$, и добавляем промежуток $\left(3;\dfrac{25}{8}\right)$. Концы $a=3$ и $a=\dfrac{25}{8}$ не входят: при них один из дискриминантов равен нулю, и вместо двух корней получается один, а всего решений выходит три.