Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений…

Решением системы считается пара чисел (x;y), которая подходит сразу в оба уравнения. Первое уравнение с параметром выглядит тяжело, зато второе — без параметра, и именно с него надо начинать: оно раскладывается на множители, а значит распадается на два простых условия.

Работаем со вторым уравнением: x^{2}+y=xy+x. Перенесём всё влево: x^{2}-x+y-xy=0. Сгруппируем: x(x-1)-y(x-1)=0, и вынесем общую скобку:

(x-1)(x-y)=0.

Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей. Получаем два семейства точек: либо x=1 (вертикальная прямая), либо y=x (биссектриса первой и третьей четвертей). Все решения системы лежат на одной из этих двух прямых, и надо посчитать, сколько точек первого уравнения на них попадает.

Случай первый: x=1. Подставим единицу в первое уравнение: a\cdot 1+ay^{2}-(2a-5)\cdot 1+2ay+1=0. Раскроем скобку: a+ay^{2}-2a+5+2ay+1=0. Приведём подобные слагаемые с a: a-2a=-a, а числа дают 5+1=6. Остаётся

ay^{2}+2ay-a+6=0.

Случай второй: y=x. Подставим в первое уравнение: ax^{2}+ax^{2}-(2a-5)x+2ax+1=0, то есть 2ax^{2}-2ax+5x+2ax+1=0. Слагаемые -2ax и +2ax взаимно уничтожаются, и получается

2ax^{2}+5x+1=0.

Чтобы решений было ровно четыре, каждое из этих двух уравнений должно дать по два различных корня, и при этом ни одна точка не должна оказаться посчитанной дважды.

Сначала отдельно посмотрим на a=0. Тогда первое уравнение случая превращается в 6=0 — неверное равенство, решений нет; второе даёт 5x+1=0, то есть одну точку. Всего одна точка, а нужно четыре, поэтому a=0 не подходит. Дальше считаем a\ne 0, и оба уравнения действительно квадратные.

Для уравнения ay^{2}+2ay+(6-a)=0 считаем дискриминант: D_{1}=(2a)^{2}-4a(6-a)=4a^{2}-24a+4a^{2}=8a^{2}-24a=8a(a-3). Два различных корня будут при D_{1}\gt 0, то есть при a(a-3)\gt 0: это a\lt 0 или a\gt 3.

Для уравнения 2ax^{2}+5x+1=0 дискриминант равен D_{2}=5^{2}-4\cdot 2a\cdot 1=25-8a. Два различных корня будут при 25-8a\gt 0, то есть при a\lt \dfrac{25}{8}.

Пересекаем оба требования (не забывая a\ne 0): подходит либо a\lt 0, либо 3\lt a\lt \dfrac{25}{8}.

Осталось проверить, не совпадают ли какие-то точки. Первый случай даёт точки вида (1;y), второй — точки вида (x;x). Совпасть они могут только в одной точке — (1;1). Подставим y=1 в уравнение первого случая: a+2a-a+6=2a+6, и это нуль при a=-3. Подставим x=1 во второе: 2a+5+1=2a+6, снова нуль при a=-3. Значит, ровно при a=-3 точка (1;1) принадлежит обоим семействам, и разных решений оказывается не четыре, а три. Это значение исключаем.

Собираем ответ. Из промежутка a\lt 0 выкалываем точку -3, получая (-\infty;-3)\cup(-3;0), и добавляем промежуток \left(3;\dfrac{25}{8}\right). Концы a=3 и a=\dfrac{25}{8} не входят: при них один из дискриминантов равен нулю, и вместо двух корней получается один, а всего решений выходит три.