Задание 19 ЕГЭ по математике №00013761

Оба уравнения — окружности. Первое: $x^2+y^2=6x+8y-9$ равносильно $(x-3)^2+(y-4)^2=16$ (центр $C(3,4)$, радиус $4$). Второе: $x^2+y^2=a^2$ (центр $O(0,0)$, радиус $R=|a|$). Цель — ровно два решения, то есть две общие точки окружностей.

Расстояние между центрами: $OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Две окружности пересекаются ровно в двух точках, когда расстояние между центрами больше разности радиусов и меньше их суммы:

$$|R-4|\lt 5\lt R+4.$$

Из правого неравенства $R\gt 1$; из левого $|R-4|\lt 5$, то есть $-1\lt R-9\lt ...$ — раскрывая, $R\lt 9$ (и $R\gt -1$ автоматически). Вместе $1\lt R\lt 9$, то есть $1\lt |a|\lt 9$.