Задание 18 ЕГЭ по математике №00028809

В систему переменная $x$ входит только в чётных степенях: $x^{4}$ и $x^{2}$. Это подсказывает метод замены переменной: положим $u=x^{2}$, причём обязательно $u\geq 0$. Замена выбрана потому, что она превращает систему в обычную квадратную задачу, а нужное «ровно четыре решения» превращается в простое требование к знакам корней. Графики здесь только запутали бы.

Сразу поймём, откуда берутся четыре решения. Если найдено значение $u\gt 0$, то ему отвечают два числа $x=\pm\sqrt{u}$, и вместе с соответствующим $y$ это даёт две точки. Если $u=0$, то точка всего одна. Значит, ровно четыре решения бывают только тогда, когда есть ровно два различных положительных значения $u$.

Обозначим ещё $c=|2a-4|$; это неотрицательное число. Система принимает вид $u^{2}+y^{2}=a^{2}$ и $u+y=c$.

Из второго уравнения $y=c-u$. Подставляем в первое:

$$u^{2}+(c-u)^{2}=a^{2}\ \Rightarrow\ 2u^{2}-2cu+c^{2}-a^{2}=0\ \Rightarrow\ u^{2}-cu+\dfrac{c^{2}-a^{2}}{2}=0.$$

Получилось квадратное уравнение относительно $u$. Нам нужны два различных положительных корня. По теореме Виета сумма корней равна $c$, произведение равно $\dfrac{c^{2}-a^{2}}{2}$. Значит, требуются три условия.

Случай 1 — корни существуют и различны: дискриминант положителен. Считаем: $D=c^{2}-2(c^{2}-a^{2})=2a^{2}-c^{2}\gt 0$.

Случай 2 — оба корня положительны: их произведение положительно, то есть $c^{2}\gt a^{2}$, и сумма положительна, то есть $c\gt 0$ (последнее означает $a\ne 2$).

Подставим $c=|2a-4|$, у которого $c^{2}=(2a-4)^{2}$. Первое условие: $2a^{2}\gt 4a^{2}-16a+16$, то есть $2a^{2}-16a+16\lt 0$ и $a^{2}-8a+8\lt 0$. Корни этого квадратного трёхчлена равны $\dfrac{8\pm\sqrt{64-32}}{2}=4\pm 2\sqrt{2}$, поэтому $4-2\sqrt{2}\lt a\lt 4+2\sqrt{2}$.

Второе условие: $(2a-4)^{2}-a^{2}\gt 0$. Слева разность квадратов: $(2a-4-a)(2a-4+a)=(a-4)(3a-4)\gt 0$, откуда $a\lt \dfrac43$ или $a\gt 4$.

Пересекаем промежутки. С учётом $4-2\sqrt{2}\approx 1{,}17$ и $4+2\sqrt{2}\approx 6{,}83$ получаем две части: $\left(4-2\sqrt{2};\dfrac43\right)$ и $\left(4;4+2\sqrt{2}\right)$. Условие $a\ne 2$ выполняется само собой, так как $2$ ни в одну из этих частей не попадает.

Проверим себя на $a=5$: тогда $c=|10-4|=6$, уравнение $u^{2}-6u+\dfrac{36-25}{2}=0$ имеет корни $\dfrac{6\pm\sqrt{14}}{2}$ — оба положительны, значит, решений действительно четыре.