Задание 18 ЕГЭ по математике №00028816

Первое уравнение — произведение, равное нулю: оно даёт окружность и прямую. Второе уравнение задаёт прямую, которая при любом $a$ проходит через одну и ту же точку, ведь $y=ax-2a=a(x-2)$ обращается в нуль при $x=2$. Значит, выбираем графический метод: неподвижная картинка и пучок прямых, вращающихся вокруг точки $(2;0)$; считаем общие точки.

Область определения: $2x+y+6\geq 0$. Это полуплоскость, границей которой служит прямая $2x+y+6=0$, то есть $y=-2x-6$.

Первое уравнение выполняется, когда либо $2x+y+6=0$ (тогда корень равен нулю), либо $x^{2}+y^{2}+4x=0$ при условии, что мы не вышли из полуплоскости. Во втором выражении выделим полный квадрат: $(x+2)^{2}-4+y^{2}=0$, то есть

$$(x+2)^{2}+y^{2}=4.$$

Это окружность с центром $(-2;0)$ и радиусом $2$.

Найдём, как граничная прямая режет окружность. Подставим $y=-2x-6$: $(x+2)^{2}+(2x+6)^{2}=4$, то есть $x^{2}+4x+4+4x^{2}+24x+36=4$ и $5x^{2}+28x+36=0$. Дискриминант равен $784-720=64$, корни $x=\dfrac{-28\pm 8}{10}$, то есть $x=-2$ и $x=-3{,}6$. Получаем точки $(-2;-2)$ и $(-3{,}6;1{,}2)$.

Центр окружности лежит в разрешённой полуплоскости: $2\cdot(-2)+0+6=2\geq 0$. Значит, разрешена бо́льшая дуга, а вырезана меньшая — та, что проходит через крайнюю левую точку $(-4;0)$; её концы $(-2;-2)$ и $(-3{,}6;1{,}2)$ сами разрешены, ведь там достигается равенство.

Случай 1 — точка на граничной прямой. Прямая $y=a(x-2)$ пересекает прямую $y=-2x-6$ ровно в одной точке, если они не параллельны, то есть при $a\ne -2$. Эта точка — решение всегда.

Случай 2 — точки на окружности. Подставим $y=a(x-2)$ в уравнение окружности: $(x+2)^{2}+a^{2}(x-2)^{2}=4$, то есть

$$(1+a^{2})x^{2}+4(1-a^{2})x+4a^{2}=0.$$

Дискриминант, делённый на четыре, равен $4(1-a^{2})^{2}-4a^{2}(1+a^{2})=4(1-3a^{2})$. Значит, окружность и прямая имеют две общие точки при $a^{2}\lt \dfrac13$, одну (касание) при $a^{2}=\dfrac13$ и ни одной при $a^{2}\gt \dfrac13$. Число $\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\approx 0{,}577$.

Теперь главное: какие из этих точек попадают в вырезанную дугу. Дугу вырезают лучи, идущие из точки $(2;0)$ в её концы. Наклон прямой через $(2;0)$ и $(-2;-2)$ равен $\dfrac{-2-0}{-2-2}=\dfrac12$, а через $(2;0)$ и $(-3{,}6;1{,}2)$ равен $\dfrac{1{,}2}{-5{,}6}=-\dfrac{3}{14}$.

При $-\dfrac{3}{14}\lt a\lt \dfrac12$ дальняя от точки $(2;0)$ точка пересечения лежит на вырезанной дуге и решением не является, а ближняя остаётся. Вместе с точкой из первого случая получаем ровно два решения — подходит.

При $a=\dfrac12$ дальняя точка попадает точно в конец дуги $(-2;-2)$ — она разрешена, но это ровно та же точка, что и точка на граничной прямой. Значит, различных решений снова два — подходит. Точно так же при $a=-\dfrac{3}{14}$ совпадение происходит в точке $(-3{,}6;1{,}2)$ — тоже два решения.

При $\dfrac12\lt a\lt \dfrac{\sqrt3}{3}$ и при $-\dfrac{\sqrt3}{3}\lt a\lt -\dfrac{3}{14}$ обе точки окружности разрешены, и вместе с точкой на граничной прямой решений становится три — много.

При $a^{2}=\dfrac13$ прямая касается окружности; точка касания имеет абсциссу $x=-1$ и ординату $y=-3a$, и проверка $2\cdot(-1)-3a+6=4-3a$ показывает, что она разрешена при обоих знаках. Итого два решения — подходит.

При $a^{2}\gt \dfrac13$ окружность вообще не задета, остаётся единственное решение — мало (а при $a=-2$ нет и его).