Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений…

Первое уравнение — произведение, равное нулю: оно даёт окружность и прямую. Второе уравнение задаёт прямую, которая при любом a проходит через одну и ту же точку, ведь y=ax-2a=a(x-2) обращается в нуль при x=2. Значит, выбираем графический метод: неподвижная картинка и пучок прямых, вращающихся вокруг точки (2;0); считаем общие точки.

Область определения: 2x+y+6\geq 0. Это полуплоскость, границей которой служит прямая 2x+y+6=0, то есть y=-2x-6.

Первое уравнение выполняется, когда либо 2x+y+6=0 (тогда корень равен нулю), либо x^{2}+y^{2}+4x=0 при условии, что мы не вышли из полуплоскости. Во втором выражении выделим полный квадрат: (x+2)^{2}-4+y^{2}=0, то есть

(x+2)^{2}+y^{2}=4.

Это окружность с центром (-2;0) и радиусом 2.

Найдём, как граничная прямая режет окружность. Подставим y=-2x-6: (x+2)^{2}+(2x+6)^{2}=4, то есть x^{2}+4x+4+4x^{2}+24x+36=4 и 5x^{2}+28x+36=0. Дискриминант равен 784-720=64, корни x=\dfrac{-28\pm 8}{10}, то есть x=-2 и x=-3{,}6. Получаем точки (-2;-2) и (-3{,}6;1{,}2).

Центр окружности лежит в разрешённой полуплоскости: 2\cdot(-2)+0+6=2\geq 0. Значит, разрешена бо́льшая дуга, а вырезана меньшая — та, что проходит через крайнюю левую точку (-4;0); её концы (-2;-2) и (-3{,}6;1{,}2) сами разрешены, ведь там достигается равенство.

Случай 1 — точка на граничной прямой. Прямая y=a(x-2) пересекает прямую y=-2x-6 ровно в одной точке, если они не параллельны, то есть при a\ne -2. Эта точка — решение всегда.

Случай 2 — точки на окружности. Подставим y=a(x-2) в уравнение окружности: (x+2)^{2}+a^{2}(x-2)^{2}=4, то есть

(1+a^{2})x^{2}+4(1-a^{2})x+4a^{2}=0.

Дискриминант, делённый на четыре, равен 4(1-a^{2})^{2}-4a^{2}(1+a^{2})=4(1-3a^{2}). Значит, окружность и прямая имеют две общие точки при a^{2}\lt \dfrac13, одну (касание) при a^{2}=\dfrac13 и ни одной при a^{2}\gt \dfrac13. Число \dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\approx 0{,}577.

Теперь главное: какие из этих точек попадают в вырезанную дугу. Дугу вырезают лучи, идущие из точки (2;0) в её концы. Наклон прямой через (2;0) и (-2;-2) равен \dfrac{-2-0}{-2-2}=\dfrac12, а через (2;0) и (-3{,}6;1{,}2) равен \dfrac{1{,}2}{-5{,}6}=-\dfrac{3}{14}.

При -\dfrac{3}{14}\lt a\lt \dfrac12 дальняя от точки (2;0) точка пересечения лежит на вырезанной дуге и решением не является, а ближняя остаётся. Вместе с точкой из первого случая получаем ровно два решения — подходит.

При a=\dfrac12 дальняя точка попадает точно в конец дуги (-2;-2) — она разрешена, но это ровно та же точка, что и точка на граничной прямой. Значит, различных решений снова два — подходит. Точно так же при a=-\dfrac{3}{14} совпадение происходит в точке (-3{,}6;1{,}2) — тоже два решения.

При \dfrac12\lt a\lt \dfrac{\sqrt3}{3} и при -\dfrac{\sqrt3}{3}\lt a\lt -\dfrac{3}{14} обе точки окружности разрешены, и вместе с точкой на граничной прямой решений становится три — много.

При a^{2}=\dfrac13 прямая касается окружности; точка касания имеет абсциссу x=-1 и ординату y=-3a, и проверка 2\cdot(-1)-3a+6=4-3a показывает, что она разрешена при обоих знаках. Итого два решения — подходит.

При a^{2}\gt \dfrac13 окружность вообще не задета, остаётся единственное решение — мало (а при a=-2 нет и его).