Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений система: 4x минус y плюс a равно 0, . 2 модуль y модуль минус x в квадрате плюс 4x равно 0 конец системы имеет ровно два различных решения.

левая круглая скобка минус бесконечность; минус 18 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка минус 16; 0 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений…

№2. Задание 18

ID: 00028823

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}4x-y+a=0,\\ 2|y|-x^{2}+4x=0\end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Источник: ФИПИ

Решение

Решение системы — это пара чисел $(x;y)$ , подходящая сразу обоим уравнениям. Буква $a$ здесь параметр: она двигает первую линию, а вторая остаётся на месте. Нужно поймать те положения, при которых пересечений ровно два.

Метод назову словами: подстановка с разбором случаев по модулю, а картинку держим в голове как графическую опору. Из первого уравнения $y$ выражается мгновенно, значит подстановка — самый короткий путь. Модуль во втором уравнении заставляет развалить задачу на две ветви, и каждая ветвь даёт своё квадратное уравнение. Дальше вся работа — честно отобрать корни и не посчитать одну точку дважды.

Шаг 1. Что за фигура задана вторым уравнением. Перепишем его как $2|y|=x^{2}-4x$ , то есть $|y|=\dfrac{x^{2}-4x}{2}$ . Модуль слева неотрицателен, значит обязательно $x^{2}-4x\ge 0$ , то есть $x(x-4)\ge 0$ , откуда $x\le 0$ или $x\ge 4$ . Это ограничение — ключ ко всей задаче, его нельзя терять.

Само уравнение распадается на две ветви: верхнюю $y=\dfrac{x^{2}-4x}{2}$ и нижнюю $y=-\dfrac{x^{2}-4x}{2}$ . Обе живут только при $x\le 0$ или $x\ge 4$ . В точках $x=0$ и $x=4$ обе ветви дают $y=0$ , то есть там они смыкаются.

Шаг 2. Первое уравнение даёт $y=4x+a$ — это прямая с постоянным наклоном $4$ , которая при изменении $a$ просто едет вверх-вниз.

Случай 1 — пересечения с верхней ветвью. Подставляем $y=4x+a$ в $y=\dfrac{x^{2}-4x}{2}$ :

$2(4x+a)=x^{2}-4x\ \Rightarrow\ 8x+2a=x^{2}-4x\ \Rightarrow\ x^{2}-12x-2a=0.$

Выделим полный квадрат: $(x-6)^{2}=36+2a$ . Корни существуют при $36+2a\ge 0$ , то есть при $a\ge -18$ , и равны $x=6\pm\sqrt{36+2a}$ .

Случай 2 — пересечения с нижней ветвью. Подставляем в $y=-\dfrac{x^{2}-4x}{2}$ :

$2(4x+a)=-x^{2}+4x\ \Rightarrow\ 8x+2a=-x^{2}+4x\ \Rightarrow\ x^{2}+4x+2a=0.$

Полный квадрат: $(x+2)^{2}=4-2a$ . Корни существуют при $4-2a\ge 0$ , то есть при $a\le 2$ , и равны $x=-2\pm\sqrt{4-2a}$ .

Шаг 3. Отбор по условию $x\le 0$ или $x\ge 4$ . Разберём каждый из четырёх корней отдельно.

Корень $x=6+\sqrt{36+2a}$ не меньше шести, а значит точно больше четырёх — он проходит всегда.

Корень $x=6-\sqrt{36+2a}$ проходит в двух ситуациях. Либо он не больше нуля: $6-\sqrt{36+2a}\le 0$ , то есть $\sqrt{36+2a}\ge 6$ , после возведения в квадрат $36+2a\ge 36$ , откуда $a\ge 0$ . Либо он не меньше четырёх: $\sqrt{36+2a}\le 2$ , то есть $36+2a\le 4$ , откуда $a\le -16$ .

Корень $x=-2-\sqrt{4-2a}$ не больше $-2$ , значит меньше нуля — он проходит всегда.

Корень $x=-2+\sqrt{4-2a}$ проходит либо при $-2+\sqrt{4-2a}\le 0$ , то есть $\sqrt{4-2a}\le 2$ , то есть $4-2a\le 4$ , откуда $a\ge 0$ ; либо при $-2+\sqrt{4-2a}\ge 4$ , то есть $\sqrt{4-2a}\ge 6$ , то есть $4-2a\ge 36$ , откуда $a\le -16$ .

Получается забавная симметрия: «капризные» корни обеих ветвей включаются и выключаются в одних и тех же точках $a=-16$ и $a=0$ .

Шаг 4. Где точки могут совпасть. Одна и та же точка попадает сразу на обе ветви только при $y=0$ , то есть при $x=0$ или $x=4$ . Подставим в прямую: $0=4x+a$ . При $x=0$ выходит $a=0$ , при $x=4$ выходит $a=-16$ . Значит, только при этих двух значениях параметра надо следить, чтобы не посчитать точку дважды.

Шаг 5. Считаем решения на каждом участке оси $a$ . Пороги: $-18$ , $-16$ , $0$ , $2$ .

При $a\lt -18$ : верхняя ветвь пересечений не даёт вовсе. У нижней проходят оба корня (ведь $a\le -16$ ). Итого ровно два решения — подходит.

При $a=-18$ : под корнем в верхней ветви ноль, корень один — $x=6$ ; нижняя даёт два. Итого три — не подходит.

При $-18\lt a\lt -16$ : верхняя даёт два корня (оба проходят, так как $a\le -16$ ), нижняя тоже два. Итого четыре — не подходит.

При $a=-16$ : верхняя даёт $x=8$ и $x=4$ , нижняя даёт $x=4$ и $x=-8$ . Точка при $x=4$ у обеих ветвей одна и та же — это $(4;0)$ . Различных решений три — не подходит.

При $-16\lt a\lt 0$ : у верхней ветви проходит только один корень, у нижней тоже только один. Итого ровно два решения — подходит.

При $a=0$ : верхняя даёт $x=12$ и $x=0$ , нижняя даёт $x=0$ и $x=-4$ ; точка при $x=0$ — это $(0;0)$ , общая. Различных решений три — не подходит.

При $0\lt a\lt 2$ : обе ветви дают по два корня, совпадений нет. Четыре решения — не подходит.

При $a=2$ : верхняя даёт два корня, нижняя — один (под корнем ноль, $x=-2$ ). Итого три — не подходит.

При $a\gt 2$ : нижняя ветвь пересечений не даёт, верхняя даёт два (оба проходят, так как $a\ge 0$ ). Ровно два решения — подходит.

Шаг 6. Собираем подходящие настройки: $a\lt -18$ , затем $-16\lt a\lt 0$ , затем $a\gt 2$ .

Проверим себя при $a=-8$ . Верхняя ветвь: $(x-6)^{2}=36-16=20$ , корни $x=6\pm\sqrt{20}$ , то есть примерно $10{,}47$ и $1{,}53$ ; второй не проходит отбор, ведь он между нулём и четвёркой. Нижняя ветвь: $(x+2)^{2}=4+16=20$ , корни примерно $2{,}47$ и $-6{,}47$ ; первый не проходит, второй проходит. Итого ровно два решения — как и должно быть.

Ответ

$(-\infty;-18)\cup(-16;0)\cup(2;+\infty)$