Задание 18 ЕГЭ по математике №00028823

Решение системы — это пара чисел $(x;y)$, подходящая сразу обоим уравнениям. Буква $a$ здесь параметр: она двигает первую линию, а вторая остаётся на месте. Нужно поймать те положения, при которых пересечений ровно два.

Метод назову словами: подстановка с разбором случаев по модулю, а картинку держим в голове как графическую опору. Из первого уравнения $y$ выражается мгновенно, значит подстановка — самый короткий путь. Модуль во втором уравнении заставляет развалить задачу на две ветви, и каждая ветвь даёт своё квадратное уравнение. Дальше вся работа — честно отобрать корни и не посчитать одну точку дважды.

Шаг 1. Что за фигура задана вторым уравнением. Перепишем его как $2|y|=x^{2}-4x$, то есть $|y|=\dfrac{x^{2}-4x}{2}$. Модуль слева неотрицателен, значит обязательно $x^{2}-4x\ge 0$, то есть $x(x-4)\ge 0$, откуда $x\le 0$ или $x\ge 4$. Это ограничение — ключ ко всей задаче, его нельзя терять.

Само уравнение распадается на две ветви: верхнюю $y=\dfrac{x^{2}-4x}{2}$ и нижнюю $y=-\dfrac{x^{2}-4x}{2}$. Обе живут только при $x\le 0$ или $x\ge 4$. В точках $x=0$ и $x=4$ обе ветви дают $y=0$, то есть там они смыкаются.

Шаг 2. Первое уравнение даёт $y=4x+a$ — это прямая с постоянным наклоном $4$, которая при изменении $a$ просто едет вверх-вниз.

Случай 1 — пересечения с верхней ветвью. Подставляем $y=4x+a$ в $y=\dfrac{x^{2}-4x}{2}$:

$$2(4x+a)=x^{2}-4x\ \Rightarrow\ 8x+2a=x^{2}-4x\ \Rightarrow\ x^{2}-12x-2a=0.$$

Выделим полный квадрат: $(x-6)^{2}=36+2a$. Корни существуют при $36+2a\ge 0$, то есть при $a\ge -18$, и равны $x=6\pm\sqrt{36+2a}$.

Случай 2 — пересечения с нижней ветвью. Подставляем в $y=-\dfrac{x^{2}-4x}{2}$:

$$2(4x+a)=-x^{2}+4x\ \Rightarrow\ 8x+2a=-x^{2}+4x\ \Rightarrow\ x^{2}+4x+2a=0.$$

Полный квадрат: $(x+2)^{2}=4-2a$. Корни существуют при $4-2a\ge 0$, то есть при $a\le 2$, и равны $x=-2\pm\sqrt{4-2a}$.

Шаг 3. Отбор по условию $x\le 0$ или $x\ge 4$. Разберём каждый из четырёх корней отдельно.

Корень $x=6+\sqrt{36+2a}$ не меньше шести, а значит точно больше четырёх — он проходит всегда.

Корень $x=6-\sqrt{36+2a}$ проходит в двух ситуациях. Либо он не больше нуля: $6-\sqrt{36+2a}\le 0$, то есть $\sqrt{36+2a}\ge 6$, после возведения в квадрат $36+2a\ge 36$, откуда $a\ge 0$. Либо он не меньше четырёх: $\sqrt{36+2a}\le 2$, то есть $36+2a\le 4$, откуда $a\le -16$.

Корень $x=-2-\sqrt{4-2a}$ не больше $-2$, значит меньше нуля — он проходит всегда.

Корень $x=-2+\sqrt{4-2a}$ проходит либо при $-2+\sqrt{4-2a}\le 0$, то есть $\sqrt{4-2a}\le 2$, то есть $4-2a\le 4$, откуда $a\ge 0$; либо при $-2+\sqrt{4-2a}\ge 4$, то есть $\sqrt{4-2a}\ge 6$, то есть $4-2a\ge 36$, откуда $a\le -16$.

Получается забавная симметрия: «капризные» корни обеих ветвей включаются и выключаются в одних и тех же точках $a=-16$ и $a=0$.

Шаг 4. Где точки могут совпасть. Одна и та же точка попадает сразу на обе ветви только при $y=0$, то есть при $x=0$ или $x=4$. Подставим в прямую: $0=4x+a$. При $x=0$ выходит $a=0$, при $x=4$ выходит $a=-16$. Значит, только при этих двух значениях параметра надо следить, чтобы не посчитать точку дважды.

Шаг 5. Считаем решения на каждом участке оси $a$. Пороги: $-18$, $-16$, $0$, $2$.

При $a\lt -18$: верхняя ветвь пересечений не даёт вовсе. У нижней проходят оба корня (ведь $a\le -16$). Итого ровно два решения — подходит.

При $a=-18$: под корнем в верхней ветви ноль, корень один — $x=6$; нижняя даёт два. Итого три — не подходит.

При $-18\lt a\lt -16$: верхняя даёт два корня (оба проходят, так как $a\le -16$), нижняя тоже два. Итого четыре — не подходит.

При $a=-16$: верхняя даёт $x=8$ и $x=4$, нижняя даёт $x=4$ и $x=-8$. Точка при $x=4$ у обеих ветвей одна и та же — это $(4;0)$. Различных решений три — не подходит.

При $-16\lt a\lt 0$: у верхней ветви проходит только один корень, у нижней тоже только один. Итого ровно два решения — подходит.

При $a=0$: верхняя даёт $x=12$ и $x=0$, нижняя даёт $x=0$ и $x=-4$; точка при $x=0$ — это $(0;0)$, общая. Различных решений три — не подходит.

При $0\lt a\lt 2$: обе ветви дают по два корня, совпадений нет. Четыре решения — не подходит.

При $a=2$: верхняя даёт два корня, нижняя — один (под корнем ноль, $x=-2$). Итого три — не подходит.

При $a\gt 2$: нижняя ветвь пересечений не даёт, верхняя даёт два (оба проходят, так как $a\ge 0$). Ровно два решения — подходит.

Шаг 6. Собираем подходящие настройки: $a\lt -18$, затем $-16\lt a\lt 0$, затем $a\gt 2$.

Проверим себя при $a=-8$. Верхняя ветвь: $(x-6)^{2}=36-16=20$, корни $x=6\pm\sqrt{20}$, то есть примерно $10{,}47$ и $1{,}53$; второй не проходит отбор, ведь он между нулём и четвёркой. Нижняя ветвь: $(x+2)^{2}=4+16=20$, корни примерно $2{,}47$ и $-6{,}47$; первый не проходит, второй проходит. Итого ровно два решения — как и должно быть.