Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028750

Дробь обращается в нуль ровно тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Поэтому сначала найдём корни числителя, затем точки, где знаменатель обнуляется (они запрещены), и посмотрим, при каких $a$ выживают ровно два разных числа.

Корни числителя. Уравнение $4x^{2}-a^{2}=0$ — разность квадратов: $(2x-a)(2x+a)=0$, откуда $x=\dfrac{a}{2}$ и $x=-\dfrac{a}{2}$.

Различными они будут только при $a\ne 0$. Отдельно разберём $a=0$: тогда оба корня совпадают и дают единственное число $x=0$, а знаменатель там равен $0+0+9-0=9\ne 0$. Итого один корень, а нужно два — значение $a=0$ не подходит.

Запретные точки. Свернём часть знаменателя в полный квадрат: $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$. Тогда знаменатель равен $(x+3)^{2}-a^{2}=(x+3-a)(x+3+a)$ и обращается в нуль при $x=a-3$ и при $x=-a-3$. В этих точках дробь не определена.

Ищем «плохие» значения параметра. При $a\ne 0$ у нас есть два разных кандидата в корни. Их станет меньше двух ровно тогда, когда один из них совпадёт с запретной точкой. Перебираем четыре возможных совпадения.

Первое: $\dfrac{a}{2}=a-3$. Умножаем на $2$: $a=2a-6$, значит $a=6$.

Второе: $\dfrac{a}{2}=-a-3$. Умножаем на $2$: $a=-2a-6$, значит $3a=-6$ и $a=-2$.

Третье: $-\dfrac{a}{2}=a-3$. Умножаем на $2$: $-a=2a-6$, значит $3a=6$ и $a=2$.

Четвёртое: $-\dfrac{a}{2}=-a-3$. Умножаем на $2$: $-a=-2a-6$, значит $a=-6$.

Проверим себя на $a=2$: корни числителя $x=1$ и $x=-1$, запретные точки $x=-1$ и $x=-5$. Корень $x=-1$ выбывает, остаётся один корень — значит, значение действительно надо исключить.

Собираем ответ. Подходят все $a$, кроме пяти исключённых: нуля, при котором корни сливаются, и четвёрки значений $\pm 2$, $\pm 6$, при которых один корень попадает в запретную точку. Записываем это как объединение промежутков: $(-\infty;-6)\cup(-6;-2)\cup(-2;0)\cup(0;2)\cup(2;6)\cup(6;+\infty)$.