Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение дробь: числитель: 4x в квадрате минус a в квадрате, знаменатель: x в квадрате плюс 6x плюс 9 минус a в квадрате конец дроби равно 0 имеет ровно два различных корня.

a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность; минус 6 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка минус 6; минус 2 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 2; 6 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка , то есть все a , кроме минус 6 , минус 2 , 0 , 2 , 6

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение дробь:…

№2. Задание 18

ID: 00028750

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $\dfrac{4x^{2}-a^{2}}{x^{2}+6x+9-a^{2}}=0$ имеет ровно два различных корня.

Источник: ФИПИ

Решение

Дробь обращается в нуль ровно тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Поэтому сначала найдём корни числителя, затем точки, где знаменатель обнуляется (они запрещены), и посмотрим, при каких $a$ выживают ровно два разных числа.

Корни числителя. Уравнение $4x^{2}-a^{2}=0$ — разность квадратов: $(2x-a)(2x+a)=0$ , откуда $x=\dfrac{a}{2}$ и $x=-\dfrac{a}{2}$ .

Различными они будут только при $a\ne 0$ . Отдельно разберём $a=0$ : тогда оба корня совпадают и дают единственное число $x=0$ , а знаменатель там равен $0+0+9-0=9\ne 0$ . Итого один корень, а нужно два — значение $a=0$ не подходит.

Запретные точки. Свернём часть знаменателя в полный квадрат: $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$ . Тогда знаменатель равен $(x+3)^{2}-a^{2}=(x+3-a)(x+3+a)$ и обращается в нуль при $x=a-3$ и при $x=-a-3$ . В этих точках дробь не определена.

Ищем «плохие» значения параметра. При $a\ne 0$ у нас есть два разных кандидата в корни. Их станет меньше двух ровно тогда, когда один из них совпадёт с запретной точкой. Перебираем четыре возможных совпадения.

Первое: $\dfrac{a}{2}=a-3$ . Умножаем на $2$ : $a=2a-6$ , значит $a=6$ .

Второе: $\dfrac{a}{2}=-a-3$ . Умножаем на $2$ : $a=-2a-6$ , значит $3a=-6$ и $a=-2$ .

Третье: $-\dfrac{a}{2}=a-3$ . Умножаем на $2$ : $-a=2a-6$ , значит $3a=6$ и $a=2$ .

Четвёртое: $-\dfrac{a}{2}=-a-3$ . Умножаем на $2$ : $-a=-2a-6$ , значит $a=-6$ .

Проверим себя на $a=2$ : корни числителя $x=1$ и $x=-1$ , запретные точки $x=-1$ и $x=-5$ . Корень $x=-1$ выбывает, остаётся один корень — значит, значение действительно надо исключить.

Собираем ответ. Подходят все $a$ , кроме пяти исключённых: нуля, при котором корни сливаются, и четвёрки значений $\pm 2$ , $\pm 6$ , при которых один корень попадает в запретную точку. Записываем это как объединение промежутков: $(-\infty;-6)\cup(-6;-2)\cup(-2;0)\cup(0;2)\cup(2;6)\cup(6;+\infty)$ .

Ответ

$a\in(-\infty;-6)\cup(-6;-2)\cup(-2;0)\cup(0;2)\cup(2;6)\cup(6;+\infty)$ , то есть все $a$ , кроме $-6$ , $-2$ , $0$ , $2$ , $6$