Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028806

В обеих частях — квадраты выражений, отличающихся только знаками у двух слагаемых. Значит, работает разложение на множители: перенесём всё в одну часть и воспользуемся формулой разности квадратов $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$. Этот путь выбран потому, что он мгновенно разбивает задачу на два простых уравнения, тогда как раскрытие скобок дало бы неподъёмное выражение.

Пусть $A=2x+a+1+\operatorname{tg}x$, $B=2x+a-1-\operatorname{tg}x$. Тогда

$$A-B=2+2\operatorname{tg}x,\qquad A+B=4x+2a.$$

Уравнение равносильно $(2+2\operatorname{tg}x)(4x+2a)=0$, то есть $(1+\operatorname{tg}x)(2x+a)=0$.

Отсюда $\operatorname{tg}x=-1$ или $x=-\dfrac{a}{2}$. Важная тонкость: на концах промежутка, в точках $x=-\dfrac{\pi}{2}$ и $x=\dfrac{\pi}{2}$, тангенс не определён, поэтому эти точки решениями быть не могут ни при каком $a$.

Случай 1 — $\operatorname{tg}x=-1$. Внутри промежутка это ровно одно значение: $x=-\dfrac{\pi}{4}$. Оно является решением всегда, независимо от $a$.

Случай 2 — $x=-\dfrac{a}{2}$. Это решение появляется, только если точка лежит внутри промежутка, где тангенс определён: $-\dfrac{\pi}{2}\lt -\dfrac{a}{2}\lt \dfrac{\pi}{2}$, то есть $-\pi\lt a\lt \pi$.

Теперь собираем условие единственности. Если $a\leq -\pi$ или $a\geq \pi$, точка $-\dfrac{a}{2}$ либо вне промежутка, либо попадает ровно на его конец, где тангенса нет; значит, остаётся только $x=-\dfrac{\pi}{4}$ — подходит.

Если же $-\pi\lt a\lt \pi$, второе решение существует, и всего их два. Спасает лишь совпадение корней: $-\dfrac{a}{2}=-\dfrac{\pi}{4}$, то есть $a=\dfrac{\pi}{2}$ — тогда решение снова одно.

Проверим себя на $a=\pi$: второй корень равен $-\dfrac{\pi}{2}$, а там тангенс не существует, поэтому решение единственное — значение $a=\pi$ действительно входит в ответ.