Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при которых уравнение левая круглая…

В обеих частях — квадраты выражений, отличающихся только знаками у двух слагаемых. Значит, работает разложение на множители: перенесём всё в одну часть и воспользуемся формулой разности квадратов A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B). Этот путь выбран потому, что он мгновенно разбивает задачу на два простых уравнения, тогда как раскрытие скобок дало бы неподъёмное выражение.

Пусть A=2x+a+1+\operatorname{tg}x, B=2x+a-1-\operatorname{tg}x. Тогда

A-B=2+2\operatorname{tg}x,\qquad A+B=4x+2a.

Уравнение равносильно (2+2\operatorname{tg}x)(4x+2a)=0, то есть (1+\operatorname{tg}x)(2x+a)=0.

Отсюда \operatorname{tg}x=-1 или x=-\dfrac{a}{2}. Важная тонкость: на концах промежутка, в точках x=-\dfrac{\pi}{2} и x=\dfrac{\pi}{2}, тангенс не определён, поэтому эти точки решениями быть не могут ни при каком a.

Случай 1 — \operatorname{tg}x=-1. Внутри промежутка это ровно одно значение: x=-\dfrac{\pi}{4}. Оно является решением всегда, независимо от a.

Случай 2 — x=-\dfrac{a}{2}. Это решение появляется, только если точка лежит внутри промежутка, где тангенс определён: -\dfrac{\pi}{2}\lt -\dfrac{a}{2}\lt \dfrac{\pi}{2}, то есть -\pi\lt a\lt \pi.

Теперь собираем условие единственности. Если a\leq -\pi или a\geq \pi, точка -\dfrac{a}{2} либо вне промежутка, либо попадает ровно на его конец, где тангенса нет; значит, остаётся только x=-\dfrac{\pi}{4} — подходит.

Если же -\pi\lt a\lt \pi, второе решение существует, и всего их два. Спасает лишь совпадение корней: -\dfrac{a}{2}=-\dfrac{\pi}{4}, то есть a=\dfrac{\pi}{2} — тогда решение снова одно.

Проверим себя на a=\pi: второй корень равен -\dfrac{\pi}{2}, а там тангенс не существует, поэтому решение единственное — значение a=\pi действительно входит в ответ.