Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение левая…

В уравнении неизвестное — x, а a — параметр, то есть «настройка»: для каждого a уравнение своё. Нам нужно найти те настройки, при которых на отрезке от 0 до 1 корень ровно один.

Метод назову словами: разложение на множители. Выбираем его потому, что в левой и правой частях стоит один и тот же множитель (5x-2) — значит, всё переносится в одну сторону и выносится за скобку. После этого уравнение распадается на два простых, и останется только аккуратно посчитать корни. Графический метод здесь был бы лишним: логарифмы рисовать неудобно, а множители видны невооружённым глазом.

Шаг 1. Область определения. Логарифм существует только от положительного числа, поэтому сразу выпишем два обязательных условия:

x+a\gt 0\quad\text{и}\quad 2x-a\gt 0.

Эти условия нельзя терять ни на секунду: именно через них параметр «включает» и «выключает» корни.

Шаг 2. Раскладываем на множители. Переносим правую часть влево и выносим общий множитель:

(5x-2)\cdot\big(\ln(x+a)-\ln(2x-a)\big)=0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель. Значит, корни бывают двух сортов.

Первый сорт: 5x-2=0, то есть x=\dfrac{2}{5}. Это фиксированное число, оно от параметра не зависит; заметим сразу, что \dfrac{2}{5} лежит внутри отрезка [0;1].

Второй сорт: \ln(x+a)=\ln(2x-a). Логарифм — строго возрастающая функция, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству самих чисел под ними: x+a=2x-a. Отсюда 2a=x, то есть x=2a. Этот корень уже «ездит» вместе с параметром.

Шаг 3. Когда работает корень x=\dfrac{2}{5}. Подставим его в оба условия области определения.

Первое: \dfrac{2}{5}+a\gt 0, то есть a\gt -\dfrac{2}{5}.

Второе: 2\cdot\dfrac{2}{5}-a\gt 0, то есть \dfrac{4}{5}-a\gt 0, значит a\lt \dfrac{4}{5}.

Итог: корень x=\dfrac{2}{5} существует и лежит на отрезке ровно при -\dfrac{2}{5}\lt a\lt \dfrac{4}{5}.

Шаг 4. Когда работает корень x=2a. Подставляем x=2a в условия области определения.

Первое: 2a+a\gt 0, то есть 3a\gt 0, значит a\gt 0.

Второе: 2\cdot 2a-a\gt 0, то есть 4a-a=3a\gt 0 — то же самое условие a\gt 0.

Кроме того, корень должен попасть на отрезок: 0\le 2a\le 1, то есть 0\le a\le \dfrac{1}{2}.

Итог: корень x=2a годится ровно при 0\lt a\le \dfrac{1}{2}.

Шаг 5. Отдельно ловим момент, когда два корня сливаются в один. Это происходит при 2a=\dfrac{2}{5}, то есть при a=\dfrac{1}{5}. Такое значение важно не пропустить: формально корней «два», а на числовой прямой точка одна.

Шаг 6. Считаем корни на каждом промежутке. Пороговые числа: -\dfrac{2}{5}, 0, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{5}.

Случай 1 — когда a\le -\dfrac{2}{5}. Первый корень не проходит по области определения, второй требует a\gt 0 и тоже не проходит. Корней нет — не подходит.

Случай 2 — когда -\dfrac{2}{5}\lt a\le 0. Первый корень x=\dfrac{2}{5} работает, второй ещё не включился (нужно a\gt 0). Ровно один корень — подходит.

Случай 3 — когда 0\lt a\le \dfrac{1}{2} и при этом a\ne \dfrac{1}{5}. Работают оба корня, и они разные. Два корня — не подходит.

Случай 4 — когда a=\dfrac{1}{5}. Оба корня равны \dfrac{2}{5}, то есть точка одна. Ровно один корень — подходит.

Случай 5 — когда \dfrac{1}{2}\lt a\lt \dfrac{4}{5}. Первый корень ещё работает, а второй хоть и существует, но x=2a\gt 1 — он вылетел за правый конец отрезка. Ровно один корень — подходит.

Случай 6 — когда a\ge \dfrac{4}{5}. Первый корень отваливается по области определения, второй лежит правее единицы. Корней на отрезке нет — не подходит.

Шаг 7. Собираем ответ из подходящих случаев: -\dfrac{2}{5}\lt a\le 0, отдельная точка a=\dfrac{1}{5} и промежуток \dfrac{1}{2}\lt a\lt \dfrac{4}{5}.

Проверим себя на границах. При a=0 второй корень равен x=0, но тогда x+a=0, а логарифм нуля не существует — корень действительно выпадает, и остаётся один. При a=\dfrac{1}{2} второй корень равен x=1, он ещё на отрезке, и корней получается два — поэтому \dfrac{1}{2} в ответ не входит.