Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028820

В уравнении неизвестное — $x$, а $a$ — параметр, то есть «настройка»: для каждого $a$ уравнение своё. Нам нужно найти те настройки, при которых на отрезке от $0$ до $1$ корень ровно один.

Метод назову словами: разложение на множители. Выбираем его потому, что в левой и правой частях стоит один и тот же множитель $(5x-2)$ — значит, всё переносится в одну сторону и выносится за скобку. После этого уравнение распадается на два простых, и останется только аккуратно посчитать корни. Графический метод здесь был бы лишним: логарифмы рисовать неудобно, а множители видны невооружённым глазом.

Шаг 1. Область определения. Логарифм существует только от положительного числа, поэтому сразу выпишем два обязательных условия:

$$x+a\gt 0\quad\text{и}\quad 2x-a\gt 0.$$

Эти условия нельзя терять ни на секунду: именно через них параметр «включает» и «выключает» корни.

Шаг 2. Раскладываем на множители. Переносим правую часть влево и выносим общий множитель:

$$(5x-2)\cdot\big(\ln(x+a)-\ln(2x-a)\big)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель. Значит, корни бывают двух сортов.

Первый сорт: $5x-2=0$, то есть $x=\dfrac{2}{5}$. Это фиксированное число, оно от параметра не зависит; заметим сразу, что $\dfrac{2}{5}$ лежит внутри отрезка $[0;1]$.

Второй сорт: $\ln(x+a)=\ln(2x-a)$. Логарифм — строго возрастающая функция, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству самих чисел под ними: $x+a=2x-a$. Отсюда $2a=x$, то есть $x=2a$. Этот корень уже «ездит» вместе с параметром.

Шаг 3. Когда работает корень $x=\dfrac{2}{5}$. Подставим его в оба условия области определения.

Первое: $\dfrac{2}{5}+a\gt 0$, то есть $a\gt -\dfrac{2}{5}$.

Второе: $2\cdot\dfrac{2}{5}-a\gt 0$, то есть $\dfrac{4}{5}-a\gt 0$, значит $a\lt \dfrac{4}{5}$.

Итог: корень $x=\dfrac{2}{5}$ существует и лежит на отрезке ровно при $-\dfrac{2}{5}\lt a\lt \dfrac{4}{5}$.

Шаг 4. Когда работает корень $x=2a$. Подставляем $x=2a$ в условия области определения.

Первое: $2a+a\gt 0$, то есть $3a\gt 0$, значит $a\gt 0$.

Второе: $2\cdot 2a-a\gt 0$, то есть $4a-a=3a\gt 0$ — то же самое условие $a\gt 0$.

Кроме того, корень должен попасть на отрезок: $0\le 2a\le 1$, то есть $0\le a\le \dfrac{1}{2}$.

Итог: корень $x=2a$ годится ровно при $0\lt a\le \dfrac{1}{2}$.

Шаг 5. Отдельно ловим момент, когда два корня сливаются в один. Это происходит при $2a=\dfrac{2}{5}$, то есть при $a=\dfrac{1}{5}$. Такое значение важно не пропустить: формально корней «два», а на числовой прямой точка одна.

Шаг 6. Считаем корни на каждом промежутке. Пороговые числа: $-\dfrac{2}{5}$, $0$, $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{4}{5}$.

Случай 1 — когда $a\le -\dfrac{2}{5}$. Первый корень не проходит по области определения, второй требует $a\gt 0$ и тоже не проходит. Корней нет — не подходит.

Случай 2 — когда $-\dfrac{2}{5}\lt a\le 0$. Первый корень $x=\dfrac{2}{5}$ работает, второй ещё не включился (нужно $a\gt 0$). Ровно один корень — подходит.

Случай 3 — когда $0\lt a\le \dfrac{1}{2}$ и при этом $a\ne \dfrac{1}{5}$. Работают оба корня, и они разные. Два корня — не подходит.

Случай 4 — когда $a=\dfrac{1}{5}$. Оба корня равны $\dfrac{2}{5}$, то есть точка одна. Ровно один корень — подходит.

Случай 5 — когда $\dfrac{1}{2}\lt a\lt \dfrac{4}{5}$. Первый корень ещё работает, а второй хоть и существует, но $x=2a\gt 1$ — он вылетел за правый конец отрезка. Ровно один корень — подходит.

Случай 6 — когда $a\ge \dfrac{4}{5}$. Первый корень отваливается по области определения, второй лежит правее единицы. Корней на отрезке нет — не подходит.

Шаг 7. Собираем ответ из подходящих случаев: $-\dfrac{2}{5}\lt a\le 0$, отдельная точка $a=\dfrac{1}{5}$ и промежуток $\dfrac{1}{2}\lt a\lt \dfrac{4}{5}$.

Проверим себя на границах. При $a=0$ второй корень равен $x=0$, но тогда $x+a=0$, а логарифм нуля не существует — корень действительно выпадает, и остаётся один. При $a=\dfrac{1}{2}$ второй корень равен $x=1$, он ещё на отрезке, и корней получается два — поэтому $\dfrac{1}{2}$ в ответ не входит.