Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при которых уравнение левая круглая…

Слева и справа стоят квадраты двух очень похожих выражений. Значит, тут не надо ничего раскрывать: разумнее выбрать метод разложения на множители. Причина такая: равенство двух квадратов A^{2}=B^{2} равносильно тому, что произведение (A-B)(A+B) равно нулю, а произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей нулевой. Так мы сразу разобьём задачу на простые части, а графики или дискриминант тут ничего бы не упростили.

Обозначим A=x+\ln(x+a) и B=x-\ln(x+a). Тогда A-B=2\ln(x+a), а A+B=2x. Значит, уравнение равносильно

2\ln(x+a)\cdot 2x=0,\qquad \text{то есть}\qquad 4x\ln(x+a)=0.

Отсюда либо x=0, либо \ln(x+a)=0, то есть x+a=1 и x=1-a.

Не забываем про область определения: логарифм существует только при x+a\gt 0. Это условие может «убить» корень, поэтому каждый корень проверяем отдельно.

Случай 1 — корень x=0. Он лежит на отрезке [0;1] всегда, но логарифм в нуле существует лишь при 0+a\gt 0, то есть при a\gt 0. При a\leq 0 этого корня просто нет.

Случай 2 — корень x=1-a. Здесь x+a=1\gt 0, значит, с областью определения всё в порядке при любом a. Остаётся требование попасть на отрезок: 0\leq 1-a\leq 1, откуда 0\leq a\leq 1.

Теперь собираем ответ, перебирая значения a по возрастанию. При a\lt 0 первого корня нет (нужно a\gt 0), а второй равен 1-a\gt 1 и вылетает за отрезок — решений ноль, не подходит.

При a=0 первого корня нет, зато второй равен 1-0=1 и лежит на отрезке. Ровно одно решение — подходит.

При 0\lt a\lt 1 работают оба корня: x=0 и x=1-a, причём они различны. Два решения — не подходит.

При a=1 второй корень равен 1-1=0 и сливается с первым: решение одно, x=0. Подходит.

При a\gt 1 остаётся только x=0 (он законен, ведь a\gt 0), а 1-a\lt 0 вне отрезка. Ровно одно решение — подходит.

Проверим себя на a=2: уравнение имеет корни x=0 и x=1-2=-1; второй вне отрезка [0;1], значит, на отрезке решение единственное — всё сходится.