Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028800

Слева и справа стоят квадраты двух очень похожих выражений. Значит, тут не надо ничего раскрывать: разумнее выбрать метод разложения на множители. Причина такая: равенство двух квадратов $A^{2}=B^{2}$ равносильно тому, что произведение $(A-B)(A+B)$ равно нулю, а произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей нулевой. Так мы сразу разобьём задачу на простые части, а графики или дискриминант тут ничего бы не упростили.

Обозначим $A=x+\ln(x+a)$ и $B=x-\ln(x+a)$. Тогда $A-B=2\ln(x+a)$, а $A+B=2x$. Значит, уравнение равносильно

$$2\ln(x+a)\cdot 2x=0,\qquad \text{то есть}\qquad 4x\ln(x+a)=0.$$

Отсюда либо $x=0$, либо $\ln(x+a)=0$, то есть $x+a=1$ и $x=1-a$.

Не забываем про область определения: логарифм существует только при $x+a\gt 0$. Это условие может «убить» корень, поэтому каждый корень проверяем отдельно.

Случай 1 — корень $x=0$. Он лежит на отрезке $[0;1]$ всегда, но логарифм в нуле существует лишь при $0+a\gt 0$, то есть при $a\gt 0$. При $a\leq 0$ этого корня просто нет.

Случай 2 — корень $x=1-a$. Здесь $x+a=1\gt 0$, значит, с областью определения всё в порядке при любом $a$. Остаётся требование попасть на отрезок: $0\leq 1-a\leq 1$, откуда $0\leq a\leq 1$.

Теперь собираем ответ, перебирая значения $a$ по возрастанию. При $a\lt 0$ первого корня нет (нужно $a\gt 0$), а второй равен $1-a\gt 1$ и вылетает за отрезок — решений ноль, не подходит.

При $a=0$ первого корня нет, зато второй равен $1-0=1$ и лежит на отрезке. Ровно одно решение — подходит.

При $0\lt a\lt 1$ работают оба корня: $x=0$ и $x=1-a$, причём они различны. Два решения — не подходит.

При $a=1$ второй корень равен $1-1=0$ и сливается с первым: решение одно, $x=0$. Подходит.

При $a\gt 1$ остаётся только $x=0$ (он законен, ведь $a\gt 0$), а $1-a\lt 0$ вне отрезка. Ровно одно решение — подходит.

Проверим себя на $a=2$: уравнение имеет корни $x=0$ и $x=1-2=-1$; второй вне отрезка $[0;1]$, значит, на отрезке решение единственное — всё сходится.