Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00028804

С обеих сторон — квадраты похожих выражений. Раскрывать скобки бессмысленно: выбираем метод разложения на множители. Он работает потому, что $A^{2}=B^{2}$ равносильно $(A-B)(A+B)=0$, а произведение равно нулю ровно тогда, когда нулю равен один из множителей. Так громоздкое тригонометрическое уравнение распадается на два простых.

Пусть $A=2x+a+1-\operatorname{tg}x$ и $B=2x+a-1+\operatorname{tg}x$. Тогда

$$A-B=2-2\operatorname{tg}x,\qquad A+B=4x+2a.$$

Значит, уравнение равносильно $(2-2\operatorname{tg}x)(4x+2a)=0$, то есть $(1-\operatorname{tg}x)(2x+a)=0$.

Отсюда либо $\operatorname{tg}x=1$, либо $x=-\dfrac{a}{2}$. Но помним: тангенс существует не везде — при $x=\dfrac{\pi}{2}$ он не определён, и такое значение $x$ решением быть не может, даже если обращает вторую скобку в нуль.

Случай 1 — $\operatorname{tg}x=1$. На отрезке $[0;\pi]$ это даёт единственное значение $x=\dfrac{\pi}{4}$ (следующее, $\dfrac{5\pi}{4}$, уже за отрезком). Тангенс там определён, так что этот корень есть всегда, при любом $a$.

Случай 2 — $x=-\dfrac{a}{2}$. Этот корень «считается», если он попадает на отрезок: $0\leq -\dfrac{a}{2}\leq \pi$, то есть $-2\pi\leq a\leq 0$. Кроме того, он не годится, если $-\dfrac{a}{2}=\dfrac{\pi}{2}$, ведь там тангенс не определён; это как раз $a=-\pi$.

Теперь ищем, когда решение ровно одно. Если $a\gt 0$ или $a\lt -2\pi$, то точка $-\dfrac{a}{2}$ вне отрезка, и остаётся лишь $x=\dfrac{\pi}{4}$ — подходит.

Если $-2\pi\leq a\leq 0$, обычно получаются два разных решения — это не годится. Спасают только два исключения. Первое: $a=-\pi$, тогда «второй корень» равен $\dfrac{\pi}{2}$, где функция не определена, и он исчезает. Второе: $-\dfrac{a}{2}=\dfrac{\pi}{4}$, то есть $a=-\dfrac{\pi}{2}$ — корни просто совпадают.

Заметим, что края $a=0$ и $a=-2\pi$ не подходят: при $a=0$ второй корень равен $0$, при $a=-2\pi$ он равен $\pi$; оба лежат на отрезке, тангенс там определён, и решений оказывается два.