Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при которых уравнение левая круглая…

С обеих сторон — квадраты похожих выражений. Раскрывать скобки бессмысленно: выбираем метод разложения на множители. Он работает потому, что A^{2}=B^{2} равносильно (A-B)(A+B)=0, а произведение равно нулю ровно тогда, когда нулю равен один из множителей. Так громоздкое тригонометрическое уравнение распадается на два простых.

Пусть A=2x+a+1-\operatorname{tg}x и B=2x+a-1+\operatorname{tg}x. Тогда

A-B=2-2\operatorname{tg}x,\qquad A+B=4x+2a.

Значит, уравнение равносильно (2-2\operatorname{tg}x)(4x+2a)=0, то есть (1-\operatorname{tg}x)(2x+a)=0.

Отсюда либо \operatorname{tg}x=1, либо x=-\dfrac{a}{2}. Но помним: тангенс существует не везде — при x=\dfrac{\pi}{2} он не определён, и такое значение x решением быть не может, даже если обращает вторую скобку в нуль.

Случай 1 — \operatorname{tg}x=1. На отрезке [0;\pi] это даёт единственное значение x=\dfrac{\pi}{4} (следующее, \dfrac{5\pi}{4}, уже за отрезком). Тангенс там определён, так что этот корень есть всегда, при любом a.

Случай 2 — x=-\dfrac{a}{2}. Этот корень «считается», если он попадает на отрезок: 0\leq -\dfrac{a}{2}\leq \pi, то есть -2\pi\leq a\leq 0. Кроме того, он не годится, если -\dfrac{a}{2}=\dfrac{\pi}{2}, ведь там тангенс не определён; это как раз a=-\pi.

Теперь ищем, когда решение ровно одно. Если a\gt 0 или a\lt -2\pi, то точка -\dfrac{a}{2} вне отрезка, и остаётся лишь x=\dfrac{\pi}{4} — подходит.

Если -2\pi\leq a\leq 0, обычно получаются два разных решения — это не годится. Спасают только два исключения. Первое: a=-\pi, тогда «второй корень» равен \dfrac{\pi}{2}, где функция не определена, и он исчезает. Второе: -\dfrac{a}{2}=\dfrac{\pi}{4}, то есть a=-\dfrac{\pi}{2} — корни просто совпадают.

Заметим, что края a=0 и a=-2\pi не подходят: при a=0 второй корень равен 0, при a=-2\pi он равен \pi; оба лежат на отрезке, тангенс там определён, и решений оказывается два.