Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение корень из: начало аргумента: 2 минус 3x конец аргумента умножить на ln левая круглая скобка 16x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка равно корень из: начало аргумента: 2 минус 3x конец аргумента умножить на ln левая круглая скобка 4x плюс a правая круглая скобка имеет ровно один корень.

левая круглая скобка минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка объединение левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение корень…

№2. Задание 18

ID: 00028808

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{2-3x}\cdot\ln\big(16x^{2}-a^{2}\big)=\sqrt{2-3x}\cdot\ln\big(4x+a\big)$

имеет ровно один корень.

Источник: ФИПИ

Решение

Слева и справа стоит один и тот же множитель $\sqrt{2-3x}$ . Значит, разумно перенести всё в одну часть и вынести его за скобку — это метод разложения на множители. Он выбран потому, что уравнение сразу распадается на два независимых условия: «корень равен нулю» и «логарифмы равны», и каждое из них решается элементарно. Главная работа будет не в вычислениях, а в аккуратной проверке области определения.

Область определения: подкоренное выражение неотрицательно, то есть $2-3x\geq 0$ и $x\leq \dfrac23$ ; кроме того, оба логарифма требуют положительных аргументов: $16x^{2}-a^{2}\gt 0$ и $4x+a\gt 0$ .

После переноса получаем $\sqrt{2-3x}\cdot\Big(\ln(16x^{2}-a^{2})-\ln(4x+a)\Big)=0$ . Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей.

Случай 1 — $\sqrt{2-3x}=0$ , то есть $x=\dfrac23$ . Этот корень существует, только если в нём определены логарифмы. Первый: $16\cdot\dfrac49-a^{2}=\dfrac{64}{9}-a^{2}\gt 0$ , откуда $|a|\lt \dfrac83$ . Второй: $4\cdot\dfrac23+a=\dfrac83+a\gt 0$ , откуда $a\gt -\dfrac83$ . Вместе это даёт $-\dfrac83\lt a\lt \dfrac83$ .

Случай 2 — равенство логарифмов. Логарифм — строго возрастающая функция, поэтому равенство $\ln M=\ln N$ равносильно $M=N$ при положительных аргументах. Получаем $16x^{2}-a^{2}=4x+a$ при условии $4x+a\gt 0$ (тогда и левая часть автоматически положительна).

Слева стоит разность квадратов: $16x^{2}-a^{2}=(4x-a)(4x+a)$ . Уравнение принимает вид $(4x-a)(4x+a)=(4x+a)$ , то есть $(4x+a)(4x-a-1)=0$ . Так как $4x+a\gt 0$ , остаётся $4x-a-1=0$ , откуда $x=\dfrac{a+1}{4}$ .

Проверим этот корень. Условие $4x+a\gt 0$ даёт $a+1+a=2a+1\gt 0$ , то есть $a\gt -\dfrac12$ . Условие $x\leq\dfrac23$ даёт $\dfrac{a+1}{4}\leq \dfrac23$ , то есть $a\leq \dfrac53$ .

Итак, первый корень живёт при $-\dfrac83\lt a\lt \dfrac83$ , второй — при $-\dfrac12\lt a\leq \dfrac53$ . Заметим, что они совпадают, когда $\dfrac{a+1}{4}=\dfrac23$ , то есть ровно при $a=\dfrac53$ .

Теперь перебираем. При $a\leq -\dfrac83$ нет ни одного корня. При $-\dfrac83\lt a\leq -\dfrac12$ есть только первый корень — ровно один, подходит. При $-\dfrac12\lt a\lt \dfrac53$ есть оба, и они различны — два корня, не подходит.

При $a=\dfrac53$ корни совпадают, остаётся один — подходит. При $\dfrac53\lt a\lt \dfrac83$ второй корень уже вне области, а первый ещё жив — один корень, подходит. При $a\geq \dfrac83$ корней нет вовсе.

Ответ

$\left(-\dfrac{8}{3};-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3}\right)$