Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00028808

Слева и справа стоит один и тот же множитель $\sqrt{2-3x}$. Значит, разумно перенести всё в одну часть и вынести его за скобку — это метод разложения на множители. Он выбран потому, что уравнение сразу распадается на два независимых условия: «корень равен нулю» и «логарифмы равны», и каждое из них решается элементарно. Главная работа будет не в вычислениях, а в аккуратной проверке области определения.

Область определения: подкоренное выражение неотрицательно, то есть $2-3x\geq 0$ и $x\leq \dfrac23$; кроме того, оба логарифма требуют положительных аргументов: $16x^{2}-a^{2}\gt 0$ и $4x+a\gt 0$.

После переноса получаем $\sqrt{2-3x}\cdot\Big(\ln(16x^{2}-a^{2})-\ln(4x+a)\Big)=0$. Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей.

Случай 1 — $\sqrt{2-3x}=0$, то есть $x=\dfrac23$. Этот корень существует, только если в нём определены логарифмы. Первый: $16\cdot\dfrac49-a^{2}=\dfrac{64}{9}-a^{2}\gt 0$, откуда $|a|\lt \dfrac83$. Второй: $4\cdot\dfrac23+a=\dfrac83+a\gt 0$, откуда $a\gt -\dfrac83$. Вместе это даёт $-\dfrac83\lt a\lt \dfrac83$.

Случай 2 — равенство логарифмов. Логарифм — строго возрастающая функция, поэтому равенство $\ln M=\ln N$ равносильно $M=N$ при положительных аргументах. Получаем $16x^{2}-a^{2}=4x+a$ при условии $4x+a\gt 0$ (тогда и левая часть автоматически положительна).

Слева стоит разность квадратов: $16x^{2}-a^{2}=(4x-a)(4x+a)$. Уравнение принимает вид $(4x-a)(4x+a)=(4x+a)$, то есть $(4x+a)(4x-a-1)=0$. Так как $4x+a\gt 0$, остаётся $4x-a-1=0$, откуда $x=\dfrac{a+1}{4}$.

Проверим этот корень. Условие $4x+a\gt 0$ даёт $a+1+a=2a+1\gt 0$, то есть $a\gt -\dfrac12$. Условие $x\leq\dfrac23$ даёт $\dfrac{a+1}{4}\leq \dfrac23$, то есть $a\leq \dfrac53$.

Итак, первый корень живёт при $-\dfrac83\lt a\lt \dfrac83$, второй — при $-\dfrac12\lt a\leq \dfrac53$. Заметим, что они совпадают, когда $\dfrac{a+1}{4}=\dfrac23$, то есть ровно при $a=\dfrac53$.

Теперь перебираем. При $a\leq -\dfrac83$ нет ни одного корня. При $-\dfrac83\lt a\leq -\dfrac12$ есть только первый корень — ровно один, подходит. При $-\dfrac12\lt a\lt \dfrac53$ есть оба, и они различны — два корня, не подходит.

При $a=\dfrac53$ корни совпадают, остаётся один — подходит. При $\dfrac53\lt a\lt \dfrac83$ второй корень уже вне области, а первый ещё жив — один корень, подходит. При $a\geq \dfrac83$ корней нет вовсе.