Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00028749

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Значит, план такой: найти корни числителя, найти «запретные» значения, при которых обнуляется знаменатель, и посмотреть, при каких $a$ после выбрасывания запретных останется ровно два разных числа.

Числитель. Уравнение $9x^{2}-a^{2}=0$ — это разность квадратов: $(3x-a)(3x+a)=0$. Отсюда $x=\dfrac{a}{3}$ или $x=-\dfrac{a}{3}$.

Эти два числа различны только при $a\ne 0$. Проверим отдельно $a=0$: тогда оба корня сливаются в один, $x=0$, а знаменатель в этой точке равен $0+0+16-0=16$, он не нулевой. Получается ровно один корень, а нам нужно два. Значит, $a=0$ не подходит, и дальше считаем $a\ne 0$.

Знаменатель. Заметим, что $x^{2}+8x+16=(x+4)^{2}$ — это квадрат суммы. Тогда знаменатель равен $(x+4)^{2}-a^{2}$, снова разность квадратов: $(x+4-a)(x+4+a)$. Он обращается в нуль при $x=a-4$ и при $x=-a-4$. Такие $x$ запрещены: в них дробь просто не существует.

Когда корней остаётся ровно два. При $a\ne 0$ у числителя два разных корня. Оба они останутся корнями дроби, если ни один не совпал с запретным значением. Значит, надо найти те $a$, при которых совпадение происходит, и выбросить их.

Перебираем все четыре возможных совпадения.

Первое: $\dfrac{a}{3}=a-4$. Умножим на $3$: $a=3a-12$, отсюда $2a=12$ и $a=6$.

Второе: $\dfrac{a}{3}=-a-4$. Умножим на $3$: $a=-3a-12$, отсюда $4a=-12$ и $a=-3$.

Третье: $-\dfrac{a}{3}=a-4$. Умножим на $3$: $-a=3a-12$, отсюда $4a=12$ и $a=3$.

Четвёртое: $-\dfrac{a}{3}=-a-4$. Умножим на $3$: $-a=-3a-12$, отсюда $2a=-12$ и $a=-6$.

При каждом из значений $6$, $-3$, $3$, $-6$ ровно один из двух корней числителя попадает в запретную точку, поэтому у уравнения остаётся всего один корень — это не то, что нужно.

Проверим себя на $a=6$: корни числителя $x=2$ и $x=-2$, запретные значения $x=2$ и $x=-10$. Корень $x=2$ выбывает, остаётся только $x=-2$ — действительно один корень.

Собираем ответ. Из всей числовой прямой выбрасываем $a=0$ (там корни числителя сливаются) и четыре найденных значения $-6$, $-3$, $3$, $6$ (там один из корней запрещён). Всё остальное подходит: $a\in(-\infty;-6)\cup(-6;-3)\cup(-3;0)\cup(0;3)\cup(3;6)\cup(6;+\infty)$.