Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате, знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате конец дроби равно 0 имеет ровно два различных корня.

a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность; минус 6 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка минус 6; минус 3 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка минус 3; 0 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 3; 6 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка , то есть все a , кроме минус 6 , минус 3 , 0 , 3 , 6

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение дробь:…

№2. Задание 18

ID: 00028749

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $\dfrac{9x^{2}-a^{2}}{x^{2}+8x+16-a^{2}}=0$ имеет ровно два различных корня.

Источник: ФИПИ

Решение

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Значит, план такой: найти корни числителя, найти «запретные» значения, при которых обнуляется знаменатель, и посмотреть, при каких $a$ после выбрасывания запретных останется ровно два разных числа.

Числитель. Уравнение $9x^{2}-a^{2}=0$ — это разность квадратов: $(3x-a)(3x+a)=0$ . Отсюда $x=\dfrac{a}{3}$ или $x=-\dfrac{a}{3}$ .

Эти два числа различны только при $a\ne 0$ . Проверим отдельно $a=0$ : тогда оба корня сливаются в один, $x=0$ , а знаменатель в этой точке равен $0+0+16-0=16$ , он не нулевой. Получается ровно один корень, а нам нужно два. Значит, $a=0$ не подходит, и дальше считаем $a\ne 0$ .

Знаменатель. Заметим, что $x^{2}+8x+16=(x+4)^{2}$ — это квадрат суммы. Тогда знаменатель равен $(x+4)^{2}-a^{2}$ , снова разность квадратов: $(x+4-a)(x+4+a)$ . Он обращается в нуль при $x=a-4$ и при $x=-a-4$ . Такие $x$ запрещены: в них дробь просто не существует.

Когда корней остаётся ровно два. При $a\ne 0$ у числителя два разных корня. Оба они останутся корнями дроби, если ни один не совпал с запретным значением. Значит, надо найти те $a$ , при которых совпадение происходит, и выбросить их.

Перебираем все четыре возможных совпадения.

Первое: $\dfrac{a}{3}=a-4$ . Умножим на $3$ : $a=3a-12$ , отсюда $2a=12$ и $a=6$ .

Второе: $\dfrac{a}{3}=-a-4$ . Умножим на $3$ : $a=-3a-12$ , отсюда $4a=-12$ и $a=-3$ .

Третье: $-\dfrac{a}{3}=a-4$ . Умножим на $3$ : $-a=3a-12$ , отсюда $4a=12$ и $a=3$ .

Четвёртое: $-\dfrac{a}{3}=-a-4$ . Умножим на $3$ : $-a=-3a-12$ , отсюда $2a=-12$ и $a=-6$ .

При каждом из значений $6$ , $-3$ , $3$ , $-6$ ровно один из двух корней числителя попадает в запретную точку, поэтому у уравнения остаётся всего один корень — это не то, что нужно.

Проверим себя на $a=6$ : корни числителя $x=2$ и $x=-2$ , запретные значения $x=2$ и $x=-10$ . Корень $x=2$ выбывает, остаётся только $x=-2$ — действительно один корень.

Собираем ответ. Из всей числовой прямой выбрасываем $a=0$ (там корни числителя сливаются) и четыре найденных значения $-6$ , $-3$ , $3$ , $6$ (там один из корней запрещён). Всё остальное подходит: $a\in(-\infty;-6)\cup(-6;-3)\cup(-3;0)\cup(0;3)\cup(3;6)\cup(6;+\infty)$ .

Ответ

$a\in(-\infty;-6)\cup(-6;-3)\cup(-3;0)\cup(0;3)\cup(3;6)\cup(6;+\infty)$ , то есть все $a$ , кроме $-6$ , $-3$ , $0$ , $3$ , $6$