Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при которых уравнение левая круглая…

Обе части — квадраты выражений, различающихся только знаком перед логарифмом. Поэтому берём метод разложения на множители: разность квадратов A^{2}-B^{2} распадается в произведение (A-B)(A+B), а произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель. Раскрывать скобки было бы долго и бессмысленно.

Пусть A=2x+\ln(x+2a) и B=2x-\ln(x+2a). Тогда A-B=2\ln(x+2a), а A+B=4x. Уравнение равносильно

2\ln(x+2a)\cdot 4x=0,\qquad\text{то есть}\qquad 8x\ln(x+2a)=0.

Отсюда либо x=0, либо \ln(x+2a)=0, что означает x+2a=1, то есть x=1-2a.

Обязательно помним про область определения: логарифм существует лишь при x+2a\gt 0. Проверяем каждый корень отдельно.

Случай 1 — корень x=0. Он всегда лежит на отрезке [0;1], но логарифм в нём существует лишь при 0+2a\gt 0, то есть при a\gt 0.

Случай 2 — корень x=1-2a. Здесь x+2a=1\gt 0, так что с логарифмом всё в порядке при любом a. Нужно лишь попадание на отрезок: 0\leq 1-2a\leq 1, откуда 0\leq a\leq \dfrac12.

Разбираем по величине a. При a\lt 0 первого корня нет, а второй равен 1-2a\gt 1 и лежит вне отрезка — решений нет.

При a=0 первого корня нет (логарифм не определён), зато второй равен 1-0=1 и лежит на отрезке. Решение ровно одно — подходит.

При 0\lt a\lt \dfrac12 работают оба корня, и они различны: получается два решения — не подходит.

При a=\dfrac12 второй корень равен 1-2\cdot\dfrac12=0 и сливается с первым. Решение одно — подходит.

При a\gt \dfrac12 остаётся только x=0 (он законен, так как a\gt 0), а 1-2a\lt 0 вылетает за отрезок. Решение одно — подходит.