Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00028807

Обе части — квадраты выражений, различающихся только знаком перед логарифмом. Поэтому берём метод разложения на множители: разность квадратов $A^{2}-B^{2}$ распадается в произведение $(A-B)(A+B)$, а произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель. Раскрывать скобки было бы долго и бессмысленно.

Пусть $A=2x+\ln(x+2a)$ и $B=2x-\ln(x+2a)$. Тогда $A-B=2\ln(x+2a)$, а $A+B=4x$. Уравнение равносильно

$$2\ln(x+2a)\cdot 4x=0,\qquad\text{то есть}\qquad 8x\ln(x+2a)=0.$$

Отсюда либо $x=0$, либо $\ln(x+2a)=0$, что означает $x+2a=1$, то есть $x=1-2a$.

Обязательно помним про область определения: логарифм существует лишь при $x+2a\gt 0$. Проверяем каждый корень отдельно.

Случай 1 — корень $x=0$. Он всегда лежит на отрезке $[0;1]$, но логарифм в нём существует лишь при $0+2a\gt 0$, то есть при $a\gt 0$.

Случай 2 — корень $x=1-2a$. Здесь $x+2a=1\gt 0$, так что с логарифмом всё в порядке при любом $a$. Нужно лишь попадание на отрезок: $0\leq 1-2a\leq 1$, откуда $0\leq a\leq \dfrac12$.

Разбираем по величине $a$. При $a\lt 0$ первого корня нет, а второй равен $1-2a\gt 1$ и лежит вне отрезка — решений нет.

При $a=0$ первого корня нет (логарифм не определён), зато второй равен $1-0=1$ и лежит на отрезке. Решение ровно одно — подходит.

При $0\lt a\lt \dfrac12$ работают оба корня, и они различны: получается два решения — не подходит.

При $a=\dfrac12$ второй корень равен $1-2\cdot\dfrac12=0$ и сливается с первым. Решение одно — подходит.

При $a\gt \dfrac12$ остаётся только $x=0$ (он законен, так как $a\gt 0$), а $1-2a\lt 0$ вылетает за отрезок. Решение одно — подходит.