ID: 00022359
Источник: ФИПИ
Это уравнение со спрятанной заменой. Введём $t = x + \dfrac{4}{x}$ (при $x \neq 0$). Тогда уравнение становится квадратным по $t$: $a t^2 + 2t - 25a + 10 = 0$. Но прежде чем решать, разберёмся, какие вообще $t$ достижимы и сколько $x$ даёт каждое такое $t$.
При $x > 0$ по неравенству о среднем $x + \dfrac{4}{x} \geq 4$, а при $x < 0$ симметрично $x + \dfrac{4}{x} \leq -4$. Значит область значений $t$ — это $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$. Уравнение $x + \dfrac{4}{x} = t$ — это $x^2 - tx + 4 = 0$: при $|t| > 4$ оно даёт два разных $x$, при $|t| = 4$ — ровно один ($x = \pm 2$), при $|t| < 4$ — ни одного.
Теперь ключевой трюк: не решаем квадрат «в лоб», а выразим $a$. Перепишем $a(t^2 - 25) = -2t - 10 = -2(t + 5)$, то есть $a(t - 5)(t + 5) = -2(t + 5)$. Выносим $(t + 5)$: $(t + 5)\big(a(t - 5) + 2\big) = 0$. Красота: один корень всегда $t = -5$, а второй — $t = 5 - \dfrac{2}{a}$ (при $a \neq 0$).
Корень $t = -5$ лежит в области ($|-5| > 4$) и сразу даёт два значения $x$: из $x^2 + 5x + 4 = 0$ получаем $x = -1$ и $x = -4$. То есть два корня по $x$ у нас есть всегда. Чтобы всего было ровно два, второй корень $t_2 = 5 - \dfrac{2}{a}$ не должен добавлять новых $x$.
Это возможно так. Во-первых, при $a = 0$ второго корня нет вовсе — остаётся только $t = -5$, ровно два $x$. Во-вторых, если $t_2 = -5$, он сливается с первым: $5 - \dfrac{2}{a} = -5 \Rightarrow a = \dfrac{1}{5}$. В-третьих, если $t_2$ попадёт строго внутрь запретной зоны $(-4; 4)$, он не даст ни одного $x$.
Решаем $-4 < 5 - \dfrac{2}{a} < 4$. Это равносильно $1 < \dfrac{2}{a} < 9$. При $a < 0$ дробь $\dfrac{2}{a}$ отрицательна — не подходит. При $a > 0$: из $\dfrac{2}{a} < 9$ имеем $a > \dfrac{2}{9}$, из $\dfrac{2}{a} > 1$ имеем $a < 2$. Получаем $a \in \left(\dfrac{2}{9}; 2\right)$. Границы выколоты: там $t_2 = \pm 4$ добавляет один лишний $x$, и корней становится три.
Собираем всё: $a = 0$, $a = \dfrac{1}{5}$ и $a \in \left(\dfrac{2}{9}; 2\right)$. Обратите внимание: $\dfrac{1}{5} = 0{,}2$, а $\dfrac{2}{9} \approx 0{,}222$, так что точка $\dfrac{1}{5}$ стоит особняком слева от промежутка. Ответ: $a \in \{0\} \cup \left\{\dfrac{1}{5}\right\} \cup \left(\dfrac{2}{9}; 2\right)$. Проверка при $a = \dfrac{1}{5}$: $t_2 = 5 - 10 = -5$ — двойной корень $t$, лишь $x = -1,\ -4$, ровно два.