Это уравнение со спрятанной заменой. Введём t = x + \dfrac{4}{x} (при x \neq 0). Тогда уравнение становится квадратным по t: a t^2 + 2t - 25a + 10 = 0. Но прежде чем решать, разберёмся, какие вообще t достижимы и сколько x даёт каждое такое t.

При x > 0 по неравенству о среднем x + \dfrac{4}{x} \geq 4, а при x < 0 симметрично x + \dfrac{4}{x} \leq -4. Значит область значений t — это (-\infty; -4] \cup [4; +\infty). Уравнение x + \dfrac{4}{x} = t — это x^2 - tx + 4 = 0: при |t| > 4 оно даёт два разных x, при |t| = 4 — ровно один (x = \pm 2), при |t| < 4 — ни одного.

Теперь ключевой трюк: не решаем квадрат «в лоб», а выразим a. Перепишем a(t^2 - 25) = -2t - 10 = -2(t + 5), то есть a(t - 5)(t + 5) = -2(t + 5). Выносим (t + 5): (t + 5)\big(a(t - 5) + 2\big) = 0. Красота: один корень всегда t = -5, а второй — t = 5 - \dfrac{2}{a} (при a \neq 0).

Корень t = -5 лежит в области (|-5| > 4) и сразу даёт два значения x: из x^2 + 5x + 4 = 0 получаем x = -1 и x = -4. То есть два корня по x у нас есть всегда. Чтобы всего было ровно два, второй корень t_2 = 5 - \dfrac{2}{a} не должен добавлять новых x.

Это возможно так. Во-первых, при a = 0 второго корня нет вовсе — остаётся только t = -5, ровно два x. Во-вторых, если t_2 = -5, он сливается с первым: 5 - \dfrac{2}{a} = -5 \Rightarrow a = \dfrac{1}{5}. В-третьих, если t_2 попадёт строго внутрь запретной зоны (-4; 4), он не даст ни одного x.

Решаем -4 < 5 - \dfrac{2}{a} < 4. Это равносильно 1 < \dfrac{2}{a} < 9. При a < 0 дробь \dfrac{2}{a} отрицательна — не подходит. При a > 0: из \dfrac{2}{a} < 9 имеем a > \dfrac{2}{9}, из \dfrac{2}{a} > 1 имеем a < 2. Получаем a \in \left(\dfrac{2}{9}; 2\right). Границы выколоты: там t_2 = \pm 4 добавляет один лишний x, и корней становится три.

Собираем всё: a = 0, a = \dfrac{1}{5} и a \in \left(\dfrac{2}{9}; 2\right). Обратите внимание: \dfrac{1}{5} = 0{,}2, а \dfrac{2}{9} \approx 0{,}222, так что точка \dfrac{1}{5} стоит особняком слева от промежутка. Ответ: a \in \{0\} \cup \left\{\dfrac{1}{5}\right\} \cup \left(\dfrac{2}{9}; 2\right). Проверка при a = \dfrac{1}{5}: t_2 = 5 - 10 = -5 — двойной корень t, лишь x = -1,\ -4, ровно два.