Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022391

а) Запишем теорему синусов для треугольника $PQW$: сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна $2R=20$. Против угла $PWQ$ лежит сторона $PQ=16$, поэтому $\sin\angle PWQ=\dfrac{16}{20}=\dfrac45$; угол острый, значит $\cos\angle PWQ=\dfrac35$. Против угла $QPW$ лежит $QW=12$, поэтому $\sin\angle QPW=\dfrac{12}{20}=\dfrac35$; он лежит против меньшей стороны и тоже острый, $\cos\angle QPW=\dfrac45$.

Тогда $\sin(\angle PWQ+\angle QPW)=\dfrac45\cdot\dfrac45+\dfrac35\cdot\dfrac35=\dfrac{16+9}{25}=1$, то есть $\angle PWQ+\angle QPW=90^\circ$. Значит третий угол $\angle PQW=180^\circ-90^\circ=90^\circ$ — треугольник прямоугольный (прямой угол при вершине $Q$). Что и требовалось.

б) Свяжем стороны $PQ$ и $QW$ с диагоналями. Возьмём $B$ за начало и векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$, $\vec{BD}$. Из $AP:PB=3:4$ выходит $\vec{BP}=\dfrac47\vec{BA}$, из $CQ:QB=3:4$ — $\vec{BQ}=\dfrac47\vec{BC}$. Тогда $\vec{QP}=\dfrac47(\vec{BA}-\vec{BC})=\dfrac47\vec{CA}$, то есть $PQ=\dfrac47\cdot AC$, откуда $AC=\dfrac74\cdot16=28$.

Аналогично $\vec{QW}=\dfrac37\vec{BD}$, то есть $QW=\dfrac37\cdot BD$ и $BD=\dfrac73\cdot12=28$. При этом $\vec{QP}$ направлен вдоль диагонали $CA$, а $\vec{QW}$ — вдоль диагонали $BD$, поэтому угол $PQW$ есть угол между диагоналями $AC$ и $BD$. Он прямой, значит диагонали перпендикулярны.

Площадь любого четырёхугольника через диагонали: $S=\dfrac12 d_1 d_2\sin\varphi$. Здесь $\varphi=90^\circ$, поэтому $S=\dfrac12\cdot AC\cdot BD=\dfrac12\cdot28\cdot28=392$. Всё сходится.