а) Запишем теорему синусов для треугольника PQW: сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна 2R=20. Против угла PWQ лежит сторона PQ=16, поэтому \sin\angle PWQ=\dfrac{16}{20}=\dfrac45; угол острый, значит \cos\angle PWQ=\dfrac35. Против угла QPW лежит QW=12, поэтому \sin\angle QPW=\dfrac{12}{20}=\dfrac35; он лежит против меньшей стороны и тоже острый, \cos\angle QPW=\dfrac45.

Тогда \sin(\angle PWQ+\angle QPW)=\dfrac45\cdot\dfrac45+\dfrac35\cdot\dfrac35=\dfrac{16+9}{25}=1, то есть \angle PWQ+\angle QPW=90^\circ. Значит третий угол \angle PQW=180^\circ-90^\circ=90^\circ — треугольник прямоугольный (прямой угол при вершине Q). Что и требовалось.

б) Свяжем стороны PQ и QW с диагоналями. Возьмём B за начало и векторы \vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD}. Из AP:PB=3:4 выходит \vec{BP}=\dfrac47\vec{BA}, из CQ:QB=3:4 — \vec{BQ}=\dfrac47\vec{BC}. Тогда \vec{QP}=\dfrac47(\vec{BA}-\vec{BC})=\dfrac47\vec{CA}, то есть PQ=\dfrac47\cdot AC, откуда AC=\dfrac74\cdot16=28.

Аналогично \vec{QW}=\dfrac37\vec{BD}, то есть QW=\dfrac37\cdot BD и BD=\dfrac73\cdot12=28. При этом \vec{QP} направлен вдоль диагонали CA, а \vec{QW} — вдоль диагонали BD, поэтому угол PQW есть угол между диагоналями AC и BD. Он прямой, значит диагонали перпендикулярны.

Площадь любого четырёхугольника через диагонали: S=\dfrac12 d_1 d_2\sin\varphi. Здесь \varphi=90^\circ, поэтому S=\dfrac12\cdot AC\cdot BD=\dfrac12\cdot28\cdot28=392. Всё сходится.