а) Средняя линия C_1B_1 соединяет середины сторон AB и AC, поэтому C_1B_1\parallel BC. Точки H и A_1 обе лежат на прямой BC, значит C_1B_1\parallel HA_1: у четырёхугольника C_1B_1A_1H две стороны параллельны — это трапеция.

Сравним её боковые стороны. Средняя линия A_1B_1 соединяет середины BC и AC, поэтому A_1B_1=\dfrac12 AB. С другой стороны, H — основание высоты, значит треугольник AHB прямоугольный (\angle AHB=90^\circ), а C_1 — середина его гипотенузы AB; медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому C_1H=\dfrac12 AB.

Итак, боковые стороны A_1B_1 и C_1H равны (обе по \dfrac12 AB). Трапеция с равными боковыми сторонами равнобедренная, а около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность. Значит, точки A_1, B_1, C_1 и H лежат на одной окружности. Что и требовалось.

б) По теореме синусов 2R=\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}=\dfrac{4\sqrt3}{\sin30^\circ}=8\sqrt3. Угол \angle ABC=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ, поэтому AC=2R\sin\angle ABC=8\sqrt3\sin105^\circ. Так как \sin105^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}, получаем AC=8\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=2\sqrt3(\sqrt6+\sqrt2)=6\sqrt2+2\sqrt6.

Дальше как обычно: CH=AC\cos\angle BCA=(6\sqrt2+2\sqrt6)\cos45^\circ=(6\sqrt2+2\sqrt6)\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{12+4\sqrt3}{2}=6+2\sqrt3, а CA_1=\dfrac{BC}{2}=2\sqrt3. Тогда A_1H=|CH-CA_1|=|6+2\sqrt3-2\sqrt3|=6.