Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022390

а) Средняя линия $C_1B_1$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$, поэтому $C_1B_1\parallel BC$. Точки $H$ и $A_1$ обе лежат на прямой $BC$, значит $C_1B_1\parallel HA_1$: у четырёхугольника $C_1B_1A_1H$ две стороны параллельны — это трапеция.

Сравним её боковые стороны. Средняя линия $A_1B_1$ соединяет середины $BC$ и $AC$, поэтому $A_1B_1=\dfrac12 AB$. С другой стороны, $H$ — основание высоты, значит треугольник $AHB$ прямоугольный ($\angle AHB=90^\circ$), а $C_1$ — середина его гипотенузы $AB$; медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому $C_1H=\dfrac12 AB$.

Итак, боковые стороны $A_1B_1$ и $C_1H$ равны (обе по $\dfrac12 AB$). Трапеция с равными боковыми сторонами равнобедренная, а около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность. Значит, точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. Что и требовалось.

б) По теореме синусов $2R=\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}=\dfrac{4\sqrt3}{\sin30^\circ}=8\sqrt3$. Угол $\angle ABC=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ$, поэтому $AC=2R\sin\angle ABC=8\sqrt3\sin105^\circ$. Так как $\sin105^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$, получаем $AC=8\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=2\sqrt3(\sqrt6+\sqrt2)=6\sqrt2+2\sqrt6$.

Дальше как обычно: $CH=AC\cos\angle BCA=(6\sqrt2+2\sqrt6)\cos45^\circ=(6\sqrt2+2\sqrt6)\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{12+4\sqrt3}{2}=6+2\sqrt3$, а $CA_1=\dfrac{BC}{2}=2\sqrt3$. Тогда $A_1H=|CH-CA_1|=|6+2\sqrt3-2\sqrt3|=6$.