а) Углы треугольника: \angle A=180^\circ-40^\circ-85^\circ=55^\circ. Вписанный угол вдвое меньше своей дуги, поэтому дуга BC (без A) равна 110^\circ, дуга AC (без B) равна 80^\circ, дуга AB (без C) равна 170^\circ.

Биссектриса угла B делит дугу AC пополам, значит M — середина дуги AC: дуги AM=MC=40^\circ. Тогда хорда BM стягивает дугу B{-}C{-}M=110^\circ+40^\circ=150^\circ.

Высота из C образует со стороной CA угол 90^\circ-\angle A=35^\circ, поэтому вписанный угол \angle ACN=35^\circ опирается на дугу AN=70^\circ, и хорда CN стягивает дугу C{-}A{-}N=80^\circ+70^\circ=150^\circ. Обе хорды стягивают дуги по 150^\circ, значит BM=CN. Что и требовалось.

б) Точка D лежит вне окружности, из неё идут секущие D{-}C{-}B и D{-}M{-}N. Угол между секущими равен полуразности дуг BN и CM: \angle BDN=\dfrac12(100^\circ-40^\circ)=30^\circ (дуга BN=100^\circ, дуга CM=40^\circ).

Угол \angle DBN=\angle CBN опирается на дугу CN=150^\circ, значит равен 75^\circ. Угол \angle DNB=\angle MNB опирается на дугу BM=150^\circ, значит тоже 75^\circ. Треугольник BDN равнобедренный: BD=DN.

Высота BH опущена из B на DN. В прямоугольном треугольнике BHD угол при D равен 30^\circ, поэтому BH=BD\sin30^\circ=\dfrac{BD}{2}, откуда BD=2\cdot6=12 и DN=BD=12. Площадь S=\dfrac12\cdot DN\cdot BH=\dfrac12\cdot12\cdot6=36. Всё сходится.