Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022392

а) Углы треугольника: $\angle A=180^\circ-40^\circ-85^\circ=55^\circ$. Вписанный угол вдвое меньше своей дуги, поэтому дуга $BC$ (без $A$) равна $110^\circ$, дуга $AC$ (без $B$) равна $80^\circ$, дуга $AB$ (без $C$) равна $170^\circ$.

Биссектриса угла $B$ делит дугу $AC$ пополам, значит $M$ — середина дуги $AC$: дуги $AM=MC=40^\circ$. Тогда хорда $BM$ стягивает дугу $B{-}C{-}M=110^\circ+40^\circ=150^\circ$.

Высота из $C$ образует со стороной $CA$ угол $90^\circ-\angle A=35^\circ$, поэтому вписанный угол $\angle ACN=35^\circ$ опирается на дугу $AN=70^\circ$, и хорда $CN$ стягивает дугу $C{-}A{-}N=80^\circ+70^\circ=150^\circ$. Обе хорды стягивают дуги по $150^\circ$, значит $BM=CN$. Что и требовалось.

б) Точка $D$ лежит вне окружности, из неё идут секущие $D{-}C{-}B$ и $D{-}M{-}N$. Угол между секущими равен полуразности дуг $BN$ и $CM$: $\angle BDN=\dfrac12(100^\circ-40^\circ)=30^\circ$ (дуга $BN=100^\circ$, дуга $CM=40^\circ$).

Угол $\angle DBN=\angle CBN$ опирается на дугу $CN=150^\circ$, значит равен $75^\circ$. Угол $\angle DNB=\angle MNB$ опирается на дугу $BM=150^\circ$, значит тоже $75^\circ$. Треугольник $BDN$ равнобедренный: $BD=DN$.

Высота $BH$ опущена из $B$ на $DN$. В прямоугольном треугольнике $BHD$ угол при $D$ равен $30^\circ$, поэтому $BH=BD\sin30^\circ=\dfrac{BD}{2}$, откуда $BD=2\cdot6=12$ и $DN=BD=12$. Площадь $S=\dfrac12\cdot DN\cdot BH=\dfrac12\cdot12\cdot6=36$. Всё сходится.