а) Дробь обнуляется, когда числитель равен нулю, а знаменатель существует и не равен нулю. Знаменатель \sqrt{7\sin x} диктует условие: подкоренное неотрицательно и корень не ноль, то есть \sin x>0. Это ОДЗ — держим его в голове.

Числитель приводим к основанию 2: 4^{\sin 2x}=2^{2\sin 2x}. Равенство 2^{2\sin 2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x} означает равенство показателей (показательная функция строго монотонна): 2\sin 2x=2\sqrt{3}\sin x, то есть \sin 2x=\sqrt{3}\sin x.

Двойной угол: 2\sin x\cos x=\sqrt{3}\sin x. Выносим \sin x за скобку, а не делим: \sin x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0.

\sin x=0 противоречит ОДЗ \sin x>0 — мимо. Остаётся \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, то есть x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n. Проверяем знак синуса: у x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n он равен \dfrac{1}{2}>0 — берём; у x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n он равен -\dfrac{1}{2}<0 — вся серия вылетает.

Ответ пункта а: x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}. Проверка подстановкой: \sin 2x=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, числитель 4^{\frac{\sqrt{3}}{2}}-2^{2\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}}=2^{\sqrt{3}}-2^{\sqrt{3}}=0; знаменатель \sqrt{7\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{3{,}5} — не ноль. Всё сходится.

б) Отрезок \left[-\dfrac{13\pi}{2};\ -5\pi\right] переведём в шестые доли: \left[-\dfrac{39\pi}{6};\ -\dfrac{30\pi}{6}\right]. Серия x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n=\dfrac{(1+12n)\pi}{6}: при n=-3 получаем -\dfrac{35\pi}{6} — внутри, ведь -\dfrac{39\pi}{6}\le-\dfrac{35\pi}{6}\le-\dfrac{30\pi}{6}; при n=-2 выходит -\dfrac{23\pi}{6} — правее правого конца; при n=-4 выходит -\dfrac{47\pi}{6} — левее левого.

Единственный корень на отрезке: -\dfrac{35\pi}{6}.