ID: 00022249
Источник: ФИПИ
а) Дробь обнуляется, когда числитель равен нулю, а знаменатель существует и не равен нулю. Знаменатель $\sqrt{7\sin x}$ диктует условие: подкоренное неотрицательно и корень не ноль, то есть $\sin x>0$. Это ОДЗ — держим его в голове.
Числитель приводим к основанию $2$: $4^{\sin 2x}=2^{2\sin 2x}$. Равенство $2^{2\sin 2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x}$ означает равенство показателей (показательная функция строго монотонна): $2\sin 2x=2\sqrt{3}\sin x$, то есть $\sin 2x=\sqrt{3}\sin x$.
Двойной угол: $2\sin x\cos x=\sqrt{3}\sin x$. Выносим $\sin x$ за скобку, а не делим: $\sin x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0$.
$\sin x=0$ противоречит ОДЗ $\sin x>0$ — мимо. Остаётся $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, то есть $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$. Проверяем знак синуса: у $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ он равен $\dfrac{1}{2}>0$ — берём; у $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ он равен $-\dfrac{1}{2}<0$ — вся серия вылетает.
Ответ пункта а: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Проверка подстановкой: $\sin 2x=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, числитель $4^{\frac{\sqrt{3}}{2}}-2^{2\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}}=2^{\sqrt{3}}-2^{\sqrt{3}}=0$; знаменатель $\sqrt{7\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{3{,}5}$ — не ноль. Всё сходится.
б) Отрезок $\left[-\dfrac{13\pi}{2};\ -5\pi\right]$ переведём в шестые доли: $\left[-\dfrac{39\pi}{6};\ -\dfrac{30\pi}{6}\right]$. Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n=\dfrac{(1+12n)\pi}{6}$: при $n=-3$ получаем $-\dfrac{35\pi}{6}$ — внутри, ведь $-\dfrac{39\pi}{6}\le-\dfrac{35\pi}{6}\le-\dfrac{30\pi}{6}$; при $n=-2$ выходит $-\dfrac{23\pi}{6}$ — правее правого конца; при $n=-4$ выходит $-\dfrac{47\pi}{6}$ — левее левого.
Единственный корень на отрезке: $-\dfrac{35\pi}{6}$.