Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022251

а) Начинаем с ограничений: под логарифмом положительное — $\sin x>0$; знаменатель не ноль — $2\cos x-\sqrt{3}\ne 0$, то есть $\cos x\ne\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

В числителе делаем замену $u=\log_2(\sin x)$: $u^2+u=u(u+1)=0$, значит $u=0$ или $u=-1$.

Если $u=0$, то $\sin x=1$ и $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$. Знаменатель: $\cos x=0$, поэтому $2\cdot 0-\sqrt{3}=-\sqrt{3}\ne 0$ — серия живёт.

Если $u=-1$, то $\sin x=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$, и появляются две серии: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$. Проверяем каждую. У точки $\dfrac{\pi}{6}$ косинус равен $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — знаменатель $2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=0$, вся серия $\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ вылетает! У точки $\dfrac{5\pi}{6}$ косинус равен $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — знаменатель $-\sqrt{3}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}\ne 0$, серия проходит.

Ответ пункта а: $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ и $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Проверка подстановкой: $\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$, $\log_2\dfrac{1}{2}=-1$, числитель $1-1=0$; $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$, $\log_2 1=0$, числитель $0$ — всё сходится.

б) Отрезок $\left[\dfrac{\pi}{2};\ 2\pi\right]$. Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$: при $n=0$ корень $\dfrac{\pi}{2}$ — это левый конец, отрезок замкнутый, значит входит; при $n=1$ будет $\dfrac{5\pi}{2}>2\pi$ — мимо. Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$: при $n=0$ корень $\dfrac{5\pi}{6}$ — внутри ($\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{6}<\dfrac{5\pi}{6}<2\pi$); при $n=1$ будет $\dfrac{17\pi}{6}>2\pi$ — мимо.

Итого два корня: $\dfrac{\pi}{2}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$ — всё сходится.