а) Начинаем с ограничений: под логарифмом положительное — \sin x>0; знаменатель не ноль — 2\cos x-\sqrt{3}\ne 0, то есть \cos x\ne\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

В числителе делаем замену u=\log_2(\sin x): u^2+u=u(u+1)=0, значит u=0 или u=-1.

Если u=0, то \sin x=1 и x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n. Знаменатель: \cos x=0, поэтому 2\cdot 0-\sqrt{3}=-\sqrt{3}\ne 0 — серия живёт.

Если u=-1, то \sin x=2^{-1}=\dfrac{1}{2}, и появляются две серии: x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n и x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n. Проверяем каждую. У точки \dfrac{\pi}{6} косинус равен \dfrac{\sqrt{3}}{2} — знаменатель 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=0, вся серия \dfrac{\pi}{6}+2\pi n вылетает! У точки \dfrac{5\pi}{6} косинус равен -\dfrac{\sqrt{3}}{2} — знаменатель -\sqrt{3}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}\ne 0, серия проходит.

Ответ пункта а: x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n и x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}. Проверка подстановкой: \sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{1}{2}, \log_2\dfrac{1}{2}=-1, числитель 1-1=0; \sin\dfrac{\pi}{2}=1, \log_2 1=0, числитель 0 — всё сходится.

б) Отрезок \left[\dfrac{\pi}{2};\ 2\pi\right]. Серия x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n: при n=0 корень \dfrac{\pi}{2} — это левый конец, отрезок замкнутый, значит входит; при n=1 будет \dfrac{5\pi}{2}>2\pi — мимо. Серия x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n: при n=0 корень \dfrac{5\pi}{6} — внутри (\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{6}<\dfrac{5\pi}{6}<2\pi); при n=1 будет \dfrac{17\pi}{6}>2\pi — мимо.

Итого два корня: \dfrac{\pi}{2} и \dfrac{5\pi}{6} — всё сходится.