а) Разбираемся с ограничениями. Под логарифмом должно стоять положительное число: \sin x>0. Знаменатель не должен обнуляться: 2\cos x+\sqrt{3}\ne 0, то есть \cos x\ne-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Оба условия держим до конца.

Числитель — квадратное выражение относительно логарифма. Обозначим u=\log_2(\sin x): тогда u^2+u=u(u+1)=0, откуда u=0 или u=-1.

Первый случай: \log_2(\sin x)=0, то есть \sin x=1 — это x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n. Проверяем знаменатель: \cos x=0, значит 2\cdot 0+\sqrt{3}=\sqrt{3}\ne 0 — серия проходит.

Второй случай: \log_2(\sin x)=-1, то есть \sin x=\dfrac{1}{2} — это x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n или x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n. Тут внимание, главная ловушка задачи! У точки \dfrac{\pi}{6} косинус равен \dfrac{\sqrt{3}}{2}: знаменатель 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ne 0 — серия проходит. А вот у точки \dfrac{5\pi}{6} косинус равен -\dfrac{\sqrt{3}}{2}: знаменатель -\sqrt{3}+\sqrt{3}=0 — вся серия \dfrac{5\pi}{6}+2\pi n вылетает!

Ответ пункта а: x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n и x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}. Проверим подстановкой: при \sin x=1 логарифм равен 0, числитель 0^2+0=0; при \sin x=\dfrac{1}{2} логарифм равен -1, числитель (-1)^2+(-1)=0 — всё сходится, и оба раза \sin x>0.

б) Отбираем на отрезке \left[0;\ \dfrac{3\pi}{2}\right]. Серия x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n: при n=0 корень \dfrac{\pi}{6} — внутри; при n=1 уже \dfrac{13\pi}{6} — за правым концом, при n=-1 — отрицательное число. Серия x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n: при n=0 корень \dfrac{\pi}{2} — внутри; остальные n выводят за пределы.

Итого два корня: \dfrac{\pi}{6} и \dfrac{\pi}{2} — оба не превосходят \dfrac{3\pi}{2}, всё сходится.