Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022250

а) Разбираемся с ограничениями. Под логарифмом должно стоять положительное число: $\sin x>0$. Знаменатель не должен обнуляться: $2\cos x+\sqrt{3}\ne 0$, то есть $\cos x\ne-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Оба условия держим до конца.

Числитель — квадратное выражение относительно логарифма. Обозначим $u=\log_2(\sin x)$: тогда $u^2+u=u(u+1)=0$, откуда $u=0$ или $u=-1$.

Первый случай: $\log_2(\sin x)=0$, то есть $\sin x=1$ — это $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$. Проверяем знаменатель: $\cos x=0$, значит $2\cdot 0+\sqrt{3}=\sqrt{3}\ne 0$ — серия проходит.

Второй случай: $\log_2(\sin x)=-1$, то есть $\sin x=\dfrac{1}{2}$ — это $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$. Тут внимание, главная ловушка задачи! У точки $\dfrac{\pi}{6}$ косинус равен $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$: знаменатель $2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ne 0$ — серия проходит. А вот у точки $\dfrac{5\pi}{6}$ косинус равен $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$: знаменатель $-\sqrt{3}+\sqrt{3}=0$ — вся серия $\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ вылетает!

Ответ пункта а: $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ и $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Проверим подстановкой: при $\sin x=1$ логарифм равен $0$, числитель $0^2+0=0$; при $\sin x=\dfrac{1}{2}$ логарифм равен $-1$, числитель $(-1)^2+(-1)=0$ — всё сходится, и оба раза $\sin x>0$.

б) Отбираем на отрезке $\left[0;\ \dfrac{3\pi}{2}\right]$. Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: при $n=0$ корень $\dfrac{\pi}{6}$ — внутри; при $n=1$ уже $\dfrac{13\pi}{6}$ — за правым концом, при $n=-1$ — отрицательное число. Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$: при $n=0$ корень $\dfrac{\pi}{2}$ — внутри; остальные $n$ выводят за пределы.

Итого два корня: $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{\pi}{2}$ — оба не превосходят $\dfrac{3\pi}{2}$, всё сходится.