а) Дробь равна нулю, когда числитель — ноль, а знаменатель при этом существует и сам не ноль. Знаменатель \sqrt{11\sin x}: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а сам корень — ненулевым. Вместе это даёт жёсткое условие \sin x>0. Запоминаем его — в конце оно сыграет.

Теперь числитель. Приводим к основанию 3: 9^{\sin 2x}=3^{2\sin 2x}. Равенство 3^{2\sin 2x}=3^{2\sqrt{2}\sin x} — это равенство степеней тройки, а показательная функция каждое значение принимает один раз. Значит, 2\sin 2x=2\sqrt{2}\sin x, то есть \sin 2x=\sqrt{2}\sin x.

Раскрываем двойной угол: 2\sin x\cos x=\sqrt{2}\sin x. На \sin x не делим (хотя тут он и так не ноль по ОДЗ, привычка полезная) — выносим за скобку: \sin x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0.

Случай \sin x=0 сразу отпадает: ОДЗ требует \sin x>0. Остаётся \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, то есть x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n.

Фильтруем через \sin x>0: у серии x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n синус равен \dfrac{\sqrt{2}}{2}>0 — годится; у серии x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n синус равен -\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0 — выбрасываем целиком.

Ответ пункта а: x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}. Проверим подстановкой: \sin 2x=\sin\dfrac{\pi}{2}=1, числитель 9^{1}-3^{2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=9-3^2=0; знаменатель \sqrt{11\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}} — существует и не ноль. Всё сходится.

б) Отрезок \left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right] в четвертях: \left[\dfrac{14\pi}{4};\ \dfrac{20\pi}{4}\right]. Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n=\dfrac{(1+8n)\pi}{4}: при n=2 получаем \dfrac{17\pi}{4} — внутри; при n=1 будет \dfrac{9\pi}{4} — рано; при n=3 будет \dfrac{25\pi}{4} — поздно.

Единственный корень на отрезке: \dfrac{17\pi}{4}.