ID: 00022248
Источник: ФИПИ
а) Дробь равна нулю, когда числитель — ноль, а знаменатель при этом существует и сам не ноль. Знаменатель $\sqrt{11\sin x}$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а сам корень — ненулевым. Вместе это даёт жёсткое условие $\sin x>0$. Запоминаем его — в конце оно сыграет.
Теперь числитель. Приводим к основанию $3$: $9^{\sin 2x}=3^{2\sin 2x}$. Равенство $3^{2\sin 2x}=3^{2\sqrt{2}\sin x}$ — это равенство степеней тройки, а показательная функция каждое значение принимает один раз. Значит, $2\sin 2x=2\sqrt{2}\sin x$, то есть $\sin 2x=\sqrt{2}\sin x$.
Раскрываем двойной угол: $2\sin x\cos x=\sqrt{2}\sin x$. На $\sin x$ не делим (хотя тут он и так не ноль по ОДЗ, привычка полезная) — выносим за скобку: $\sin x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0$.
Случай $\sin x=0$ сразу отпадает: ОДЗ требует $\sin x>0$. Остаётся $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то есть $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$.
Фильтруем через $\sin x>0$: у серии $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ синус равен $\dfrac{\sqrt{2}}{2}>0$ — годится; у серии $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ синус равен $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0$ — выбрасываем целиком.
Ответ пункта а: $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Проверим подстановкой: $\sin 2x=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$, числитель $9^{1}-3^{2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=9-3^2=0$; знаменатель $\sqrt{11\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}$ — существует и не ноль. Всё сходится.
б) Отрезок $\left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]$ в четвертях: $\left[\dfrac{14\pi}{4};\ \dfrac{20\pi}{4}\right]$. Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n=\dfrac{(1+8n)\pi}{4}$: при $n=2$ получаем $\dfrac{17\pi}{4}$ — внутри; при $n=1$ будет $\dfrac{9\pi}{4}$ — рано; при $n=3$ будет $\dfrac{25\pi}{4}$ — поздно.
Единственный корень на отрезке: $\dfrac{17\pi}{4}$.