ID: 00022247
Источник: ФИПИ
а) Сначала наводим порядок в обеих частях. Слева: $\dfrac{1}{49}=7^{-2}$, значит $\left(\dfrac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{-2\sin(x+\pi)}$. По формуле приведения $\sin(x+\pi)=-\sin x$, и показатель превращается в $-2\cdot(-\sin x)=2\sin x$. Итого слева $7^{2\sin x}$.
Справа тоже формула приведения: $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$, то есть справа $7^{2\sqrt{3}\cos x}$.
Основания одинаковые, показательная функция каждое значение принимает один раз — приравниваем показатели: $2\sin x=2\sqrt{3}\cos x$, то есть $\sin x=\sqrt{3}\cos x$.
Может ли тут быть $\cos x=0$? Тогда слева было бы $\sin x=\pm 1$, а справа ноль — не равны. Значит $\cos x\ne 0$, и можно спокойно поделить на $\cos x$: $\mathrm{tg}\,x=\sqrt{3}$, откуда $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.
Проверим подстановкой $x=\dfrac{\pi}{3}$: $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, слева $7^{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=7^{\sqrt{3}}$; $\cos x=\dfrac{1}{2}$, справа $7^{2\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}}=7^{\sqrt{3}}$ — сходится. И вторая точка серии, $x=\dfrac{4\pi}{3}$: слева $7^{-\sqrt{3}}$, справа $7^{2\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}=7^{-\sqrt{3}}$ — тоже сходится.
б) Отрезок $\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]$ переведём в шестые доли: $\left[\dfrac{18\pi}{6};\ \dfrac{27\pi}{6}\right]$.
Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$: при $n=3$ получаем $\dfrac{10\pi}{3}=\dfrac{20\pi}{6}$ — внутри; при $n=4$ получаем $\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{26\pi}{6}$ — тоже внутри; $n=2$ даёт $\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{14\pi}{6}$ (рано), $n=5$ даёт $\dfrac{16\pi}{3}=\dfrac{32\pi}{6}$ (поздно).
Итого два корня: $\dfrac{10\pi}{3}$ и $\dfrac{13\pi}{3}$ — оба между $\dfrac{18\pi}{6}$ и $\dfrac{27\pi}{6}$, всё сходится.