Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022246

а) Приведём обе части к одному основанию — к семёрке. Слева: $49^{\sin x}=\left(7^2\right)^{\sin x}=7^{2\sin x}$. Справа: $\dfrac{1}{7}=7^{-1}$, поэтому $\left(\dfrac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x}$ — минус на минус даёт плюс.

Показательная функция с основанием $7>1$ каждое своё значение принимает ровно один раз, значит равны показатели: $2\sin x=\sqrt{2}\sin 2x$.

Раскрываем двойной угол: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Получаем $2\sin x=2\sqrt{2}\sin x\cos x$. Ни в коем случае не делим на $\sin x$ — так потеряем корни! Переносим и выносим за скобку: $2\sin x\left(1-\sqrt{2}\cos x\right)=0$.

Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Первый случай: $\sin x=0$, то есть $x=\pi n$. Второй случай: $\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то есть $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$.

Проверим подстановкой. При $x=\pi n$: $\sin x=0$ и $\sin 2x=0$, обе части равны $7^0=1$ — сходится. При $x=\dfrac{\pi}{4}$: слева $7^{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=7^{\sqrt{2}}$, справа $\sin 2x=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ и выходит $7^{\sqrt{2}}$ — сходится. При $x=-\dfrac{\pi}{4}$: слева $7^{-\sqrt{2}}$, справа $\sin 2x=-1$ и выходит $7^{-\sqrt{2}}$ — тоже сходится.

б) Отрезок $\left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$ в четвертях: $\left[\dfrac{8\pi}{4};\ \dfrac{14\pi}{4}\right]$.

Серия $x=\pi n$: подходят $2\pi=\dfrac{8\pi}{4}$ (левый конец, отрезок замкнутый — входит) и $3\pi=\dfrac{12\pi}{4}$; уже $4\pi=\dfrac{16\pi}{4}$ — перелёт.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: при $n=1$ получаем $\dfrac{9\pi}{4}$ — внутри; $n=0$ даёт $\dfrac{\pi}{4}$ (рано), $n=2$ даёт $\dfrac{17\pi}{4}$ (поздно).

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: при $n=1$ выходит $\dfrac{7\pi}{4}$ — чуть-чуть не дотянули до $\dfrac{8\pi}{4}$; при $n=2$ выходит $\dfrac{15\pi}{4}$ — уже за $\dfrac{14\pi}{4}$. Из этой серии никто не попал.

Итого на отрезке три корня: $2\pi$, $\dfrac{9\pi}{4}$, $3\pi$ — всё сходится.