а) Приведём обе части к одному основанию — к семёрке. Слева: 49^{\sin x}=\left(7^2\right)^{\sin x}=7^{2\sin x}. Справа: \dfrac{1}{7}=7^{-1}, поэтому \left(\dfrac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x} — минус на минус даёт плюс.

Показательная функция с основанием 7>1 каждое своё значение принимает ровно один раз, значит равны показатели: 2\sin x=\sqrt{2}\sin 2x.

Раскрываем двойной угол: \sin 2x=2\sin x\cos x. Получаем 2\sin x=2\sqrt{2}\sin x\cos x. Ни в коем случае не делим на \sin x — так потеряем корни! Переносим и выносим за скобку: 2\sin x\left(1-\sqrt{2}\cos x\right)=0.

Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Первый случай: \sin x=0, то есть x=\pi n. Второй случай: \cos x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, то есть x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n.

Проверим подстановкой. При x=\pi n: \sin x=0 и \sin 2x=0, обе части равны 7^0=1 — сходится. При x=\dfrac{\pi}{4}: слева 7^{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=7^{\sqrt{2}}, справа \sin 2x=\sin\dfrac{\pi}{2}=1 и выходит 7^{\sqrt{2}} — сходится. При x=-\dfrac{\pi}{4}: слева 7^{-\sqrt{2}}, справа \sin 2x=-1 и выходит 7^{-\sqrt{2}} — тоже сходится.

б) Отрезок \left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right] в четвертях: \left[\dfrac{8\pi}{4};\ \dfrac{14\pi}{4}\right].

Серия x=\pi n: подходят 2\pi=\dfrac{8\pi}{4} (левый конец, отрезок замкнутый — входит) и 3\pi=\dfrac{12\pi}{4}; уже 4\pi=\dfrac{16\pi}{4} — перелёт.

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n: при n=1 получаем \dfrac{9\pi}{4} — внутри; n=0 даёт \dfrac{\pi}{4} (рано), n=2 даёт \dfrac{17\pi}{4} (поздно).

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n: при n=1 выходит \dfrac{7\pi}{4} — чуть-чуть не дотянули до \dfrac{8\pi}{4}; при n=2 выходит \dfrac{15\pi}{4} — уже за \dfrac{14\pi}{4}. Из этой серии никто не попал.

Итого на отрезке три корня: 2\pi, \dfrac{9\pi}{4}, 3\pi — всё сходится.