Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028769

Слева и справа стоят степени, но с разными основаниями: $\dfrac{1}{49}$ и $7$. Первым делом приведём их к одному основанию — тогда можно будет просто приравнять показатели. Заодно упростим тригонометрию внутри показателей формулами приведения.

Основание слева: $\dfrac{1}{49}=\dfrac{1}{7^{2}}=7^{-2}$.

Показатель слева содержит $\sin(x+\pi)$. По формуле приведения сдвиг на $\pi$ меняет знак синуса: $\sin(x+\pi)=-\sin x$.

Собираем левую часть: $\left(7^{-2}\right)^{-\sin x}=7^{(-2)\cdot(-\sin x)}=7^{2\sin x}$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются, а два минуса дают плюс.

Теперь правая часть. Там $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$, и по формуле приведения это $\cos x$. Значит правая часть равна $7^{2\sqrt{3}\cos x}$.

Уравнение приняло вид $7^{2\sin x}=7^{2\sqrt{3}\cos x}$. Основания одинаковые и не равны единице, поэтому равны и показатели:

$$2\sin x=2\sqrt{3}\cos x.$$

Делим обе части на $2$: $\sin x=\sqrt{3}\cos x$.

Хочется поделить на $\cos x$, но сначала убедимся, что он не ноль. Если бы $\cos x=0$, то из равенства следовало бы и $\sin x=0$, а синус и косинус не обращаются в ноль одновременно (их квадраты в сумме дают единицу). Значит $\cos x\neq 0$, и делить можно.

Делим: $\dfrac{\sin x}{\cos x}=\sqrt{3}$, то есть $\operatorname{tg}x=\sqrt{3}$.

Тангенс равен $\sqrt{3}$ при $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Серия одна, потому что период тангенса равен $\pi$.

Переходим к пункту б: отбираем корни из отрезка $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$. Переведём всё в шестые доли $\pi$: левый конец $3\pi=\dfrac{18\pi}{6}$, правый конец $\dfrac{9\pi}{2}=\dfrac{27\pi}{6}$. Подходят корни, у которых числитель в шестых долях лежит между $18$ и $27$ включительно.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ в шестых долях — это $\dfrac{(2+6n)\pi}{6}$. Перебираем целые $n$: при $n=2$ числитель $2+12=14$ — меньше $18$, не подходит; при $n=3$ числитель $2+18=20$, то есть $x=\dfrac{20\pi}{6}=\dfrac{10\pi}{3}$ — подходит; при $n=4$ числитель $2+24=26$, то есть $x=\dfrac{26\pi}{6}=\dfrac{13\pi}{3}$ — тоже подходит, ведь $26\lt 27$; при $n=5$ числитель $32$ — уже вне отрезка.

Выписываем отобранные корни по возрастанию: $\dfrac{10\pi}{3}$ и $\dfrac{13\pi}{3}$.