а) Решите уравнение левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 49 конец дроби правая круглая скобка в степени синус левая круглая скобка x плюс пи правая круглая скобка равно 7 в степени 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус левая круглая скобка дробь: числитель: пи, знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка 3пи; дробь: числитель: 9пи, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

а) x равно дробь: числитель: пи, знаменатель: 3 конец дроби плюс пиn , n принадлежит Z б) дробь: числитель: 10пи, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 13пи, знаменатель: 3 конец дроби

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение левая круглая скобка дробь: числитель: 1,…

№2. Задание 13

ID: 00028769

а) Решите уравнение $\left(\dfrac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{2\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Слева и справа стоят степени, но с разными основаниями: $\dfrac{1}{49}$ и $7$ . Первым делом приведём их к одному основанию — тогда можно будет просто приравнять показатели. Заодно упростим тригонометрию внутри показателей формулами приведения.

Основание слева: $\dfrac{1}{49}=\dfrac{1}{7^{2}}=7^{-2}$ .

Показатель слева содержит $\sin(x+\pi)$ . По формуле приведения сдвиг на $\pi$ меняет знак синуса: $\sin(x+\pi)=-\sin x$ .

Собираем левую часть: $\left(7^{-2}\right)^{-\sin x}=7^{(-2)\cdot(-\sin x)}=7^{2\sin x}$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются, а два минуса дают плюс.

Теперь правая часть. Там $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ , и по формуле приведения это $\cos x$ . Значит правая часть равна $7^{2\sqrt{3}\cos x}$ .

Уравнение приняло вид $7^{2\sin x}=7^{2\sqrt{3}\cos x}$ . Основания одинаковые и не равны единице, поэтому равны и показатели:

$2\sin x=2\sqrt{3}\cos x.$

Делим обе части на $2$ : $\sin x=\sqrt{3}\cos x$ .

Хочется поделить на $\cos x$ , но сначала убедимся, что он не ноль. Если бы $\cos x=0$ , то из равенства следовало бы и $\sin x=0$ , а синус и косинус не обращаются в ноль одновременно (их квадраты в сумме дают единицу). Значит $\cos x\neq 0$ , и делить можно.

Делим: $\dfrac{\sin x}{\cos x}=\sqrt{3}$ , то есть $\operatorname{tg}x=\sqrt{3}$ .

Тангенс равен $\sqrt{3}$ при $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ . Серия одна, потому что период тангенса равен $\pi$ .

Переходим к пункту б: отбираем корни из отрезка $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ . Переведём всё в шестые доли $\pi$ : левый конец $3\pi=\dfrac{18\pi}{6}$ , правый конец $\dfrac{9\pi}{2}=\dfrac{27\pi}{6}$ . Подходят корни, у которых числитель в шестых долях лежит между $18$ и $27$ включительно.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ в шестых долях — это $\dfrac{(2+6n)\pi}{6}$ . Перебираем целые $n$ : при $n=2$ числитель $2+12=14$ — меньше $18$ , не подходит; при $n=3$ числитель $2+18=20$ , то есть $x=\dfrac{20\pi}{6}=\dfrac{10\pi}{3}$ — подходит; при $n=4$ числитель $2+24=26$ , то есть $x=\dfrac{26\pi}{6}=\dfrac{13\pi}{3}$ — тоже подходит, ведь $26\lt 27$ ; при $n=5$ числитель $32$ — уже вне отрезка.

Выписываем отобранные корни по возрастанию: $\dfrac{10\pi}{3}$ и $\dfrac{13\pi}{3}$ .

Ответ

а) $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $\dfrac{10\pi}{3};\ \dfrac{13\pi}{3}$