а) Решите уравнение 16 в степени косинус x плюс 16 в степени косинус левая круглая скобка пи минус x правая круглая скобка равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 4 конец дроби . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка пи; дробь: числитель: 5пи, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

а) x равно дробь: числитель: пи, знаменатель: 3 конец дроби плюс пиn , x равно минус дробь: числитель: пи, знаменатель: 3 конец дроби плюс пиn , n принадлежит Z б) дробь: числитель: 4пи, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 5пи, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 7пи, знаменатель: 3 конец дроби

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 16 в степени косинус x плюс 16 в степени…

№2. Задание 13

ID: 00028773

а) Решите уравнение $16^{\cos x}+16^{\cos(\pi-x)}=\dfrac{17}{4}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Два показательных слагаемых с одинаковым основанием $16$ , а в показателях — косинусы разных аргументов. Первым делом приведём оба показателя к одному и тому же косинусу, и тогда уравнение станет квадратным относительно новой переменной.

Работает формула приведения: $\cos(\pi-x)=-\cos x$ (косинус меняет знак при отражении угла относительно $\dfrac{\pi}{2}$ ). Значит второе слагаемое равно $16^{-\cos x}$ , а степень с отрицательным показателем — это единица, делённая на степень: $16^{-\cos x}=\dfrac{1}{16^{\cos x}}$ .

Уравнение принимает вид $16^{\cos x}+\dfrac{1}{16^{\cos x}}=\dfrac{17}{4}$ .

Делаем замену: пусть $y=16^{\cos x}$ . Показательная функция всегда положительна, поэтому $y\gt 0$ — про это ограничение забывать нельзя. Получаем $y+\dfrac{1}{y}=\dfrac{17}{4}$ .

Умножим обе части на $4y$ (это законно, ведь $y\neq 0$ ): $4y^{2}+4=17y$ , то есть $4y^{2}-17y+4=0$ .

Дискриминант: $D=(-17)^{2}-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$ , а $\sqrt{225}=15$ . Корни: $y_{1}=\dfrac{17+15}{8}=\dfrac{32}{8}=4$ и $y_{2}=\dfrac{17-15}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac14$ . Оба положительны, оба годятся.

Возвращаемся к $x$ . Удобно всё записать через двойку: $16=2^{4}$ , поэтому $16^{\cos x}=2^{4\cos x}$ .

Случай $y=4$ : $2^{4\cos x}=2^{2}$ . У равных степеней с одинаковым основанием равны и показатели, значит $4\cos x=2$ , откуда $\cos x=\dfrac12$ .

Случай $y=\dfrac14$ : $2^{4\cos x}=2^{-2}$ , значит $4\cos x=-2$ и $\cos x=-\dfrac12$ .

Уравнение $\cos x=\dfrac12$ даёт $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ ; уравнение $\cos x=-\dfrac12$ даёт $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ . Все четыре серии складываются в две более короткие: $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ (подставьте $n=0$ и $n=1$ и увидите ровно те же четыре точки на круге).

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке $\left[\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right]$ . Переведём всё в шестые доли $\pi$ : $\pi=\dfrac{6\pi}{6}$ , $\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{15\pi}{6}$ . Ищем числа вида $\dfrac{k\pi}{6}$ с условием $6\leqslant k\leqslant 15$ .

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ — это $\dfrac{(2+6n)\pi}{6}$ , то есть $k=2+6n$ : при $n=1$ выходит $k=8$ (подходит, $x=\dfrac{4\pi}{3}$ ), при $n=2$ выходит $k=14$ (подходит, $x=\dfrac{7\pi}{3}$ ), при $n=0$ и $n=3$ получаем $k=2$ и $k=20$ — мимо отрезка.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ — это $\dfrac{(6n-2)\pi}{6}$ , то есть $k=6n-2$ : при $n=1$ выходит $k=4$ (мало), при $n=2$ выходит $k=10$ (подходит, $x=\dfrac{10\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{3}$ ), при $n=3$ выходит $k=16$ (много).

Расставляем по возрастанию номеров $k$ ( $8$ , $10$ , $14$ ): $\dfrac{4\pi}{3}$ , $\dfrac{5\pi}{3}$ , $\dfrac{7\pi}{3}$ .

Ответ

а) $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ , $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $\dfrac{4\pi}{3};\ \dfrac{5\pi}{3};\ \dfrac{7\pi}{3}$