Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028773

Два показательных слагаемых с одинаковым основанием $16$, а в показателях — косинусы разных аргументов. Первым делом приведём оба показателя к одному и тому же косинусу, и тогда уравнение станет квадратным относительно новой переменной.

Работает формула приведения: $\cos(\pi-x)=-\cos x$ (косинус меняет знак при отражении угла относительно $\dfrac{\pi}{2}$). Значит второе слагаемое равно $16^{-\cos x}$, а степень с отрицательным показателем — это единица, делённая на степень: $16^{-\cos x}=\dfrac{1}{16^{\cos x}}$.

Уравнение принимает вид $16^{\cos x}+\dfrac{1}{16^{\cos x}}=\dfrac{17}{4}$.

Делаем замену: пусть $y=16^{\cos x}$. Показательная функция всегда положительна, поэтому $y\gt 0$ — про это ограничение забывать нельзя. Получаем $y+\dfrac{1}{y}=\dfrac{17}{4}$.

Умножим обе части на $4y$ (это законно, ведь $y\neq 0$): $4y^{2}+4=17y$, то есть $4y^{2}-17y+4=0$.

Дискриминант: $D=(-17)^{2}-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$, а $\sqrt{225}=15$. Корни: $y_{1}=\dfrac{17+15}{8}=\dfrac{32}{8}=4$ и $y_{2}=\dfrac{17-15}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac14$. Оба положительны, оба годятся.

Возвращаемся к $x$. Удобно всё записать через двойку: $16=2^{4}$, поэтому $16^{\cos x}=2^{4\cos x}$.

Случай $y=4$: $2^{4\cos x}=2^{2}$. У равных степеней с одинаковым основанием равны и показатели, значит $4\cos x=2$, откуда $\cos x=\dfrac12$.

Случай $y=\dfrac14$: $2^{4\cos x}=2^{-2}$, значит $4\cos x=-2$ и $\cos x=-\dfrac12$.

Уравнение $\cos x=\dfrac12$ даёт $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$; уравнение $\cos x=-\dfrac12$ даёт $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$. Все четыре серии складываются в две более короткие: $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ (подставьте $n=0$ и $n=1$ и увидите ровно те же четыре точки на круге).

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке $\left[\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right]$. Переведём всё в шестые доли $\pi$: $\pi=\dfrac{6\pi}{6}$, $\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{15\pi}{6}$. Ищем числа вида $\dfrac{k\pi}{6}$ с условием $6\leqslant k\leqslant 15$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ — это $\dfrac{(2+6n)\pi}{6}$, то есть $k=2+6n$: при $n=1$ выходит $k=8$ (подходит, $x=\dfrac{4\pi}{3}$), при $n=2$ выходит $k=14$ (подходит, $x=\dfrac{7\pi}{3}$), при $n=0$ и $n=3$ получаем $k=2$ и $k=20$ — мимо отрезка.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ — это $\dfrac{(6n-2)\pi}{6}$, то есть $k=6n-2$: при $n=1$ выходит $k=4$ (мало), при $n=2$ выходит $k=10$ (подходит, $x=\dfrac{10\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{3}$), при $n=3$ выходит $k=16$ (много).

Расставляем по возрастанию номеров $k$ ($8$, $10$, $14$): $\dfrac{4\pi}{3}$, $\dfrac{5\pi}{3}$, $\dfrac{7\pi}{3}$.