Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028760

В уравнении два показательных слагаемых с одинаковым основанием $16$, а в показателях — синусы двух разных аргументов. Первое, что нужно сделать, — привести оба показателя к одному и тому же синусу, тогда уравнение станет обычным квадратным относительно новой переменной.

Воспользуемся формулой приведения: при сдвиге на $\pi$ синус меняет знак, то есть $\sin(x+\pi)=-\sin x$. Значит второе слагаемое равно $16^{-\sin x}$, а это то же самое, что $\dfrac{1}{16^{\sin x}}$.

Уравнение принимает вид $16^{\sin x}+\dfrac{1}{16^{\sin x}}=\dfrac{17}{4}$.

Теперь делаем замену: обозначим $t=16^{\sin x}$. Показательная функция всегда положительна, поэтому $t\gt 0$ — это ограничение на новую переменную, про него нельзя забывать. Получаем $t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{17}{4}$.

Умножим обе части на $4t$ (это законно, ведь $t\neq 0$): $4t^{2}+4=17t$, то есть $4t^{2}-17t+4=0$.

Считаем дискриминант: $D=(-17)^{2}-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$, а $\sqrt{225}=15$. Тогда корни $t_{1}=\dfrac{17+15}{8}=\dfrac{32}{8}=4$ и $t_{2}=\dfrac{17-15}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$. Оба положительны, оба подходят.

Возвращаемся к $x$. Удобно всё записать через двойку: $16=2^{4}$, поэтому $16^{\sin x}=2^{4\sin x}$.

Случай $t=4$: $2^{4\sin x}=2^{2}$. У равных степеней с одинаковым основанием равны и показатели, значит $4\sin x=2$, откуда $\sin x=\dfrac{1}{2}$.

Случай $t=\dfrac{1}{4}$: $2^{4\sin x}=2^{-2}$, значит $4\sin x=-2$ и $\sin x=-\dfrac{1}{2}$.

Итак, нужно решить $\sin x=\pm\dfrac{1}{2}$. Решения уравнения $\sin x=\dfrac{1}{2}$ — это $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$; решения $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ — это $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$. Все четыре серии удобно свернуть в две: $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$ (проверьте: подставляя $n=0$ и $n=1$, получаем как раз $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{7\pi}{6}$, $-\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{5\pi}{6}$).

Переходим к пункту б. Нужно из этих серий выбрать те числа, которые попали на отрезок $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$. Удобно считать всё в «шестых долях $\pi$»: $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{9\pi}{6}$, а $3\pi=\dfrac{18\pi}{6}$.

Первая серия $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ в этих долях выглядит как $\dfrac{\pi+6\pi n}{6}$: при $n=1$ это $\dfrac{7\pi}{6}$ — меньше $\dfrac{9\pi}{6}$, не подходит; при $n=2$ это $\dfrac{13\pi}{6}$ — лежит между $\dfrac{9\pi}{6}$ и $\dfrac{18\pi}{6}$, подходит; при $n=3$ это $\dfrac{19\pi}{6}$ — уже больше $\dfrac{18\pi}{6}$, не подходит.

Вторая серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ даёт $\dfrac{-\pi+6\pi n}{6}$: при $n=2$ это $\dfrac{11\pi}{6}$ — подходит; при $n=3$ это $\dfrac{17\pi}{6}$ — тоже подходит, ведь $17\lt 18$; при $n=1$ получаем $\dfrac{5\pi}{6}$, это слишком мало.

Собираем отобранные значения по возрастанию: $\dfrac{11\pi}{6}$, $\dfrac{13\pi}{6}$, $\dfrac{17\pi}{6}$.