а) Решите уравнение 16 в степени синус x плюс 16 в степени синус левая круглая скобка x плюс пи правая круглая скобка равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 4 конец дроби . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: 3пи, знаменатель: 2 конец дроби ; 3пи правая квадратная скобка .

а) x равно дробь: числитель: пи, знаменатель: 6 конец дроби плюс пиn , x равно минус дробь: числитель: пи, знаменатель: 6 конец дроби плюс пиn , n принадлежит Z б) дробь: числитель: 11пи, знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 13пи, знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 17пи, знаменатель: 6 конец дроби

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 16 в степени синус x плюс 16 в степени синус…

№2. Задание 13

ID: 00028760

а) Решите уравнение $16^{\sin x}+16^{\sin(x+\pi)}=\dfrac{17}{4}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В уравнении два показательных слагаемых с одинаковым основанием $16$ , а в показателях — синусы двух разных аргументов. Первое, что нужно сделать, — привести оба показателя к одному и тому же синусу, тогда уравнение станет обычным квадратным относительно новой переменной.

Воспользуемся формулой приведения: при сдвиге на $\pi$ синус меняет знак, то есть $\sin(x+\pi)=-\sin x$ . Значит второе слагаемое равно $16^{-\sin x}$ , а это то же самое, что $\dfrac{1}{16^{\sin x}}$ .

Уравнение принимает вид $16^{\sin x}+\dfrac{1}{16^{\sin x}}=\dfrac{17}{4}$ .

Теперь делаем замену: обозначим $t=16^{\sin x}$ . Показательная функция всегда положительна, поэтому $t\gt 0$ — это ограничение на новую переменную, про него нельзя забывать. Получаем $t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{17}{4}$ .

Умножим обе части на $4t$ (это законно, ведь $t\neq 0$ ): $4t^{2}+4=17t$ , то есть $4t^{2}-17t+4=0$ .

Считаем дискриминант: $D=(-17)^{2}-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$ , а $\sqrt{225}=15$ . Тогда корни $t_{1}=\dfrac{17+15}{8}=\dfrac{32}{8}=4$ и $t_{2}=\dfrac{17-15}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$ . Оба положительны, оба подходят.

Возвращаемся к $x$ . Удобно всё записать через двойку: $16=2^{4}$ , поэтому $16^{\sin x}=2^{4\sin x}$ .

Случай $t=4$ : $2^{4\sin x}=2^{2}$ . У равных степеней с одинаковым основанием равны и показатели, значит $4\sin x=2$ , откуда $\sin x=\dfrac{1}{2}$ .

Случай $t=\dfrac{1}{4}$ : $2^{4\sin x}=2^{-2}$ , значит $4\sin x=-2$ и $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ .

Итак, нужно решить $\sin x=\pm\dfrac{1}{2}$ . Решения уравнения $\sin x=\dfrac{1}{2}$ — это $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ ; решения $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ — это $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ . Все четыре серии удобно свернуть в две: $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ (проверьте: подставляя $n=0$ и $n=1$ , получаем как раз $\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{7\pi}{6}$ , $-\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{5\pi}{6}$ ).

Переходим к пункту б. Нужно из этих серий выбрать те числа, которые попали на отрезок $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ . Удобно считать всё в «шестых долях $\pi$ »: $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{9\pi}{6}$ , а $3\pi=\dfrac{18\pi}{6}$ .

Первая серия $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ в этих долях выглядит как $\dfrac{\pi+6\pi n}{6}$ : при $n=1$ это $\dfrac{7\pi}{6}$ — меньше $\dfrac{9\pi}{6}$ , не подходит; при $n=2$ это $\dfrac{13\pi}{6}$ — лежит между $\dfrac{9\pi}{6}$ и $\dfrac{18\pi}{6}$ , подходит; при $n=3$ это $\dfrac{19\pi}{6}$ — уже больше $\dfrac{18\pi}{6}$ , не подходит.

Вторая серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ даёт $\dfrac{-\pi+6\pi n}{6}$ : при $n=2$ это $\dfrac{11\pi}{6}$ — подходит; при $n=3$ это $\dfrac{17\pi}{6}$ — тоже подходит, ведь $17\lt 18$ ; при $n=1$ получаем $\dfrac{5\pi}{6}$ , это слишком мало.

Собираем отобранные значения по возрастанию: $\dfrac{11\pi}{6}$ , $\dfrac{13\pi}{6}$ , $\dfrac{17\pi}{6}$ .

Ответ

а) $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ , $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $\dfrac{11\pi}{6};\ \dfrac{13\pi}{6};\ \dfrac{17\pi}{6}$