Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение дробь: числитель: 4 в степени синус 2x минус…

Пункт а. Перед нами дробь, которая должна равняться нулю. Дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом существует и в ноль не обращается. Значит, работа распадается на две части: сначала выпишем ограничения (область допустимых значений), потом приравняем числитель к нулю.

В знаменателе стоит \sqrt{7\sin x}. Квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, а делить на ноль нельзя, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным:

7\sin x\gt 0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin x\gt 0

Запомним это условие — в конце оно отсечёт половину корней.

Теперь числитель. Приравниваем его к нулю и переносим одну степень вправо:

4^{\sin 2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x}

Слева и справа основания разные, но их легко сделать одинаковыми: 4=2^{2}, поэтому

4^{\sin 2x}=\left(2^{2}\right)^{\sin 2x}=2^{2\sin 2x}

Показательная функция строго возрастает, поэтому равные степени с одинаковым основанием бывают только при равных показателях:

2\sin 2x=2\sqrt{3}\sin x\quad\Longleftrightarrow\quad \sin 2x=\sqrt{3}\sin x

Раскроем синус двойного угла по формуле \sin 2x=2\sin x\cos x и соберём всё в одну сторону:

2\sin x\cos x-\sqrt{3}\sin x=0

Общий множитель \sin x выносим за скобку:

\sin x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0

Произведение равно нулю, когда обнуляется хотя бы один множитель. Но вариант \sin x=0 нам запрещён условием \sin x\gt 0 — остаётся только вторая скобка:

2\cos x-\sqrt{3}=0\quad\Longleftrightarrow\quad \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Косинус равен \dfrac{\sqrt{3}}{2} в двух семействах точек:

x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Проверим их на условие \sin x\gt 0. В первом случае \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\gt 0 — годится. Во втором \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\lt 0 — не годится, эту серию вычёркиваем.

Итак, остаётся одна серия: x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.

Пункт б. Теперь надо понять, какие из этих корней попали на отрезок \left[-\dfrac{13\pi}{2};\,-5\pi\right]. Серия всего одна и шаг у неё большой — 2\pi, поэтому проще всего подставить формулу в двойное неравенство:

-\dfrac{13\pi}{2}\le \dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le -5\pi

Делим всё на \pi и вычитаем \dfrac16:

-\dfrac{13}{2}-\dfrac{1}{6}\le 2n\le -5-\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{20}{3}\le 2n\le -\dfrac{31}{6}

Делим на 2:

-\dfrac{10}{3}\le n\le -\dfrac{31}{12}

В десятичном виде это примерно -3{,}33\le n\le -2{,}58, и целое здесь единственное — n=-3:

x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi\cdot(-3)=\dfrac{\pi}{6}-6\pi=\dfrac{\pi-36\pi}{6}=-\dfrac{35\pi}{6}

Проверим себя: -\dfrac{35\pi}{6}\approx -5{,}83\pi, а отрезок тянется от -6{,}5\pi до -5\pi — число действительно внутри.