Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00028729

Пункт а. Перед нами дробь, которая должна равняться нулю. Дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом существует и в ноль не обращается. Значит, работа распадается на две части: сначала выпишем ограничения (область допустимых значений), потом приравняем числитель к нулю.

В знаменателе стоит $\sqrt{7\sin x}$. Квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, а делить на ноль нельзя, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$$7\sin x\gt 0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin x\gt 0$$

Запомним это условие — в конце оно отсечёт половину корней.

Теперь числитель. Приравниваем его к нулю и переносим одну степень вправо:

$$4^{\sin 2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x}$$

Слева и справа основания разные, но их легко сделать одинаковыми: $4=2^{2}$, поэтому

$$4^{\sin 2x}=\left(2^{2}\right)^{\sin 2x}=2^{2\sin 2x}$$

Показательная функция строго возрастает, поэтому равные степени с одинаковым основанием бывают только при равных показателях:

$$2\sin 2x=2\sqrt{3}\sin x\quad\Longleftrightarrow\quad \sin 2x=\sqrt{3}\sin x$$

Раскроем синус двойного угла по формуле $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и соберём всё в одну сторону:

$$2\sin x\cos x-\sqrt{3}\sin x=0$$

Общий множитель $\sin x$ выносим за скобку:

$$\sin x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0$$

Произведение равно нулю, когда обнуляется хотя бы один множитель. Но вариант $\sin x=0$ нам запрещён условием $\sin x\gt 0$ — остаётся только вторая скобка:

$$2\cos x-\sqrt{3}=0\quad\Longleftrightarrow\quad \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Косинус равен $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ в двух семействах точек:

$$x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Проверим их на условие $\sin x\gt 0$. В первом случае $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\gt 0$ — годится. Во втором $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\lt 0$ — не годится, эту серию вычёркиваем.

Итак, остаётся одна серия: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Теперь надо понять, какие из этих корней попали на отрезок $\left[-\dfrac{13\pi}{2};\,-5\pi\right]$. Серия всего одна и шаг у неё большой — $2\pi$, поэтому проще всего подставить формулу в двойное неравенство:

$$-\dfrac{13\pi}{2}\le \dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le -5\pi$$

Делим всё на $\pi$ и вычитаем $\dfrac16$:

$$-\dfrac{13}{2}-\dfrac{1}{6}\le 2n\le -5-\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{20}{3}\le 2n\le -\dfrac{31}{6}$$

Делим на $2$:

$$-\dfrac{10}{3}\le n\le -\dfrac{31}{12}$$

В десятичном виде это примерно $-3{,}33\le n\le -2{,}58$, и целое здесь единственное — $n=-3$:

$$x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi\cdot(-3)=\dfrac{\pi}{6}-6\pi=\dfrac{\pi-36\pi}{6}=-\dfrac{35\pi}{6}$$

Проверим себя: $-\dfrac{35\pi}{6}\approx -5{,}83\pi$, а отрезок тянется от $-6{,}5\pi$ до $-5\pi$ — число действительно внутри.