Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028728

Пункт а. В уравнении два «этажа»: снаружи показательные степени, а внутри, в показателях, — синус и косинус. Развязать такой узел можно только одним способом — сделать показатели одинаковыми, и тогда всё уравнение превратится в квадратное относительно одной степени.

Начнём с оснований. Шестнадцать — это четвёрка в квадрате, $16=4^{2}$, поэтому

$$16^{\sin^{2}x}=\left(4^{2}\right)^{\sin^{2}x}=4^{2\sin^{2}x}$$

Дальше нужен мостик между $\sin^{2}x$ и $\cos 2x$. Его даёт формула косинуса двойного угла: $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$. Выразим из неё удвоенный квадрат синуса:

$$2\sin^{2}x=1-\cos 2x$$

Подставляем в показатель и раскладываем степень разности на частное степеней:

$$4^{2\sin^{2}x}=4^{1-\cos 2x}=\dfrac{4}{4^{\cos 2x}}$$

Теперь в уравнении осталась ровно одна «неизвестная кирпичина» — $4^{\cos 2x}$. Введём для неё обозначение $t=4^{\cos 2x}$. Показательная функция никогда не бывает нулём или отрицательной, поэтому $t\gt 0$ — это ограничение пригодится в конце.

Переписываем условие через $t$:

$$4\cdot\dfrac{4}{t}-6t=29\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{16}{t}-6t=29$$

Домножим обе части на $t$ и перенесём всё влево:

$$16-6t^{2}=29t\quad\Longleftrightarrow\quad 6t^{2}+29t-16=0$$

Дискриминант:

$$D=29^{2}-4\cdot 6\cdot(-16)=841+384=1225,\qquad \sqrt{D}=35$$

Корни:

$$t_{1}=\dfrac{-29+35}{2\cdot 6}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2},\qquad t_{2}=\dfrac{-29-35}{12}=-\dfrac{64}{12}=-\dfrac{16}{3}$$

Второй корень отрицательный, а мы условились, что $t\gt 0$, — он не подходит.

Возвращаемся к переменной $x$:

$$4^{\cos 2x}=\dfrac{1}{2}$$

Одну вторую тоже удобно записать как степень четвёрки: $4^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}$. Основания совпали, значит совпадают и показатели:

$$\cos 2x=-\dfrac{1}{2}$$

Косинус принимает значение $-\dfrac12$ при аргументе $\pm\dfrac{2\pi}{3}$ с точностью до полных оборотов:

$$2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Разделим обе части на $2$:

$$x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Осталось выбрать из этих серий корни, попавшие на отрезок $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$. Удобный приём: подставить общую формулу корня прямо в двойное неравенство и найти все целые значения параметра, при которых оно верно.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$:

$$\dfrac{3\pi}{2}\le \dfrac{\pi}{3}+\pi n\le 3\pi$$

Делим на $\pi$ и вычитаем $\dfrac13$:

$$\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}\le n\le 3-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{7}{6}\le n\le \dfrac{8}{3}$$

Это примерно $1{,}17\le n\le 2{,}67$, подходит только $n=2$:

$$x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{\pi+6\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}$$

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$:

$$\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{3}\le n\le 3+\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{11}{6}\le n\le \dfrac{10}{3}$$

Здесь примерно $1{,}83\le n\le 3{,}33$, годятся $n=2$ и $n=3$:

$$x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3},\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+3\pi=\dfrac{8\pi}{3}$$

Проверим себя: $\dfrac{5\pi}{3}\approx 1{,}67\pi$, $\dfrac{7\pi}{3}\approx 2{,}33\pi$, $\dfrac{8\pi}{3}\approx 2{,}67\pi$ — все три между $1{,}5\pi$ и $3\pi$, всё сходится.