Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 4 умножить на 16 в степени синус в квадрате…

Пункт а. В уравнении два «этажа»: снаружи показательные степени, а внутри, в показателях, — синус и косинус. Развязать такой узел можно только одним способом — сделать показатели одинаковыми, и тогда всё уравнение превратится в квадратное относительно одной степени.

Начнём с оснований. Шестнадцать — это четвёрка в квадрате, 16=4^{2}, поэтому

16^{\sin^{2}x}=\left(4^{2}\right)^{\sin^{2}x}=4^{2\sin^{2}x}

Дальше нужен мостик между \sin^{2}x и \cos 2x. Его даёт формула косинуса двойного угла: \cos 2x=1-2\sin^{2}x. Выразим из неё удвоенный квадрат синуса:

2\sin^{2}x=1-\cos 2x

Подставляем в показатель и раскладываем степень разности на частное степеней:

4^{2\sin^{2}x}=4^{1-\cos 2x}=\dfrac{4}{4^{\cos 2x}}

Теперь в уравнении осталась ровно одна «неизвестная кирпичина» — 4^{\cos 2x}. Введём для неё обозначение t=4^{\cos 2x}. Показательная функция никогда не бывает нулём или отрицательной, поэтому t\gt 0 — это ограничение пригодится в конце.

Переписываем условие через t:

4\cdot\dfrac{4}{t}-6t=29\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{16}{t}-6t=29

Домножим обе части на t и перенесём всё влево:

16-6t^{2}=29t\quad\Longleftrightarrow\quad 6t^{2}+29t-16=0

Дискриминант:

D=29^{2}-4\cdot 6\cdot(-16)=841+384=1225,\qquad \sqrt{D}=35

Корни:

t_{1}=\dfrac{-29+35}{2\cdot 6}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2},\qquad t_{2}=\dfrac{-29-35}{12}=-\dfrac{64}{12}=-\dfrac{16}{3}

Второй корень отрицательный, а мы условились, что t\gt 0, — он не подходит.

Возвращаемся к переменной x:

4^{\cos 2x}=\dfrac{1}{2}

Одну вторую тоже удобно записать как степень четвёрки: 4^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}. Основания совпали, значит совпадают и показатели:

\cos 2x=-\dfrac{1}{2}

Косинус принимает значение -\dfrac12 при аргументе \pm\dfrac{2\pi}{3} с точностью до полных оборотов:

2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Разделим обе части на 2:

x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Осталось выбрать из этих серий корни, попавшие на отрезок \left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]. Удобный приём: подставить общую формулу корня прямо в двойное неравенство и найти все целые значения параметра, при которых оно верно.

Серия x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n:

\dfrac{3\pi}{2}\le \dfrac{\pi}{3}+\pi n\le 3\pi

Делим на \pi и вычитаем \dfrac13:

\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}\le n\le 3-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{7}{6}\le n\le \dfrac{8}{3}

Это примерно 1{,}17\le n\le 2{,}67, подходит только n=2:

x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{\pi+6\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n:

\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{3}\le n\le 3+\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{11}{6}\le n\le \dfrac{10}{3}

Здесь примерно 1{,}83\le n\le 3{,}33, годятся n=2 и n=3:

x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3},\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+3\pi=\dfrac{8\pi}{3}

Проверим себя: \dfrac{5\pi}{3}\approx 1{,}67\pi, \dfrac{7\pi}{3}\approx 2{,}33\pi, \dfrac{8\pi}{3}\approx 2{,}67\pi — все три между 1{,}5\pi и 3\pi, всё сходится.