а) Решите уравнение 16 в степени синус x минус 6 умножить на 4 в степени синус x плюс 8 равно 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 5пи; минус дробь: числитель: 7пи, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

а) x равно дробь: числитель: пи, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2пиn , x равно дробь: числитель: 5пи, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2пиn , x равно дробь: числитель: пи, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2пиn , n принадлежит Z б) минус дробь: числитель: 23пи, знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7пи, знаменатель: 2 конец дроби

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 16 в степени синус x минус 6 умножить на 4 в…

№2. Задание 13

ID: 00028763

а) Решите уравнение $16^{\sin x}-6\cdot 4^{\sin x}+8=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi;-\dfrac{7\pi}{2}\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Смотрим на уравнение: основания степеней $16$ и $4$ разные, но $16$ — это $4^{2}$ . Значит оба слагаемых выражаются через одну и ту же величину $4^{\sin x}$ , и уравнение станет квадратным после замены.

Действительно, $16^{\sin x}=(4^{2})^{\sin x}=(4^{\sin x})^{2}$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Введём замену: пусть $t=4^{\sin x}$ . Показательная функция всегда положительна, поэтому $t\gt 0$ . Уравнение превращается в $t^{2}-6t+8=0$ .

Считаем дискриминант: $D=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$ , $\sqrt{4}=2$ . Корни: $t_{1}=\dfrac{6-2}{2}=2$ и $t_{2}=\dfrac{6+2}{2}=4$ . Оба положительны — подходят.

Возвращаемся к $x$ . Удобно всё записать через основание $2$ : $4^{\sin x}=2^{2\sin x}$ .

Случай $t=2$ : $2^{2\sin x}=2^{1}$ . У равных степеней с одинаковым основанием равны показатели, значит $2\sin x=1$ , то есть $\sin x=\dfrac{1}{2}$ .

Случай $t=4$ : $2^{2\sin x}=2^{2}$ , значит $2\sin x=2$ , то есть $\sin x=1$ .

Решаем каждое. Уравнение $\sin x=\dfrac{1}{2}$ даёт две серии: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ (синус равен $\tfrac12$ в двух точках окружности, симметричных относительно вертикальной оси).

Уравнение $\sin x=1$ — это наибольшее возможное значение синуса, оно достигается в одной точке окружности: $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ .

Переходим к пункту б: отбираем корни из отрезка $\left[-5\pi;-\dfrac{7\pi}{2}\right]$ . Переведём всё в шестые доли $\pi$ : левый конец $-5\pi=-\dfrac{30\pi}{6}$ , правый конец $-\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{21\pi}{6}$ . Значит подходят те корни, у которых числитель в шестых долях лежит между $-30$ и $-21$ включительно.

Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n=\dfrac{\pi+12\pi n}{6}$ : при $n=-2$ числитель равен $1-24=-23$ , то есть $x=-\dfrac{23\pi}{6}$ — число $-23$ лежит между $-30$ и $-21$ , корень подходит. При $n=-3$ числитель $1-36=-35$ — слишком мало.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n=\dfrac{5\pi+12\pi n}{6}$ : при $n=-2$ числитель $5-24=-19$ — это больше $-21$ , значит правее отрезка. При $n=-3$ числитель $5-36=-31$ — левее отрезка. Ничего не подходит.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n=\dfrac{3\pi+12\pi n}{6}$ : при $n=-2$ числитель $3-24=-21$ , то есть $x=-\dfrac{21\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{2}$ — это ровно правый конец отрезка, а он закрашен, значит корень входит. При $n=-3$ числитель $3-36=-33$ — левее отрезка.

Выписываем отобранные значения по возрастанию: $-\dfrac{23\pi}{6}$ и $-\dfrac{7\pi}{2}$ .

Ответ

а) $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ , $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ , $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{23\pi}{6};\ -\dfrac{7\pi}{2}$