Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028763

Смотрим на уравнение: основания степеней $16$ и $4$ разные, но $16$ — это $4^{2}$. Значит оба слагаемых выражаются через одну и ту же величину $4^{\sin x}$, и уравнение станет квадратным после замены.

Действительно, $16^{\sin x}=(4^{2})^{\sin x}=(4^{\sin x})^{2}$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Введём замену: пусть $t=4^{\sin x}$. Показательная функция всегда положительна, поэтому $t\gt 0$. Уравнение превращается в $t^{2}-6t+8=0$.

Считаем дискриминант: $D=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$, $\sqrt{4}=2$. Корни: $t_{1}=\dfrac{6-2}{2}=2$ и $t_{2}=\dfrac{6+2}{2}=4$. Оба положительны — подходят.

Возвращаемся к $x$. Удобно всё записать через основание $2$: $4^{\sin x}=2^{2\sin x}$.

Случай $t=2$: $2^{2\sin x}=2^{1}$. У равных степеней с одинаковым основанием равны показатели, значит $2\sin x=1$, то есть $\sin x=\dfrac{1}{2}$.

Случай $t=4$: $2^{2\sin x}=2^{2}$, значит $2\sin x=2$, то есть $\sin x=1$.

Решаем каждое. Уравнение $\sin x=\dfrac{1}{2}$ даёт две серии: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ (синус равен $\tfrac12$ в двух точках окружности, симметричных относительно вертикальной оси).

Уравнение $\sin x=1$ — это наибольшее возможное значение синуса, оно достигается в одной точке окружности: $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$.

Переходим к пункту б: отбираем корни из отрезка $\left[-5\pi;-\dfrac{7\pi}{2}\right]$. Переведём всё в шестые доли $\pi$: левый конец $-5\pi=-\dfrac{30\pi}{6}$, правый конец $-\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{21\pi}{6}$. Значит подходят те корни, у которых числитель в шестых долях лежит между $-30$ и $-21$ включительно.

Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n=\dfrac{\pi+12\pi n}{6}$: при $n=-2$ числитель равен $1-24=-23$, то есть $x=-\dfrac{23\pi}{6}$ — число $-23$ лежит между $-30$ и $-21$, корень подходит. При $n=-3$ числитель $1-36=-35$ — слишком мало.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n=\dfrac{5\pi+12\pi n}{6}$: при $n=-2$ числитель $5-24=-19$ — это больше $-21$, значит правее отрезка. При $n=-3$ числитель $5-36=-31$ — левее отрезка. Ничего не подходит.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n=\dfrac{3\pi+12\pi n}{6}$: при $n=-2$ числитель $3-24=-21$, то есть $x=-\dfrac{21\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{2}$ — это ровно правый конец отрезка, а он закрашен, значит корень входит. При $n=-3$ числитель $3-36=-33$ — левее отрезка.

Выписываем отобранные значения по возрастанию: $-\dfrac{23\pi}{6}$ и $-\dfrac{7\pi}{2}$.