Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028781

Слева стоят квадраты синуса и косинуса, справа — просто число $\sqrt{2}$. Хитрость в том, что это число можно «раскрасить»: заменить его на $\sqrt{2}$, умноженное на единицу, а единицу расписать по основному тригонометрическому тождеству. Тогда всё соберётся в произведение.

Перенесём правую часть влево: $2\sin^{2}x\cos x+\sqrt{2}\cos^{2}x-\sqrt{2}=0$. Вынесем $\sqrt{2}$ у двух последних слагаемых: $\sqrt{2}\left(\cos^{2}x-1\right)$.

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$, откуда $\cos^{2}x-1=-\sin^{2}x$. Значит уравнение принимает вид $2\sin^{2}x\cos x-\sqrt{2}\sin^{2}x=0$.

Теперь в обоих слагаемых есть множитель $\sin^{2}x$ — выносим его:

$$\sin^{2}x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Разбираем два случая.

Первый случай: $\sin^{2}x=0$, то есть $\sin x=0$. Синус обращается в ноль при $x=\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Второй случай: $2\cos x-\sqrt{2}=0$, то есть $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение; ему отвечают две симметричные относительно нуля серии: $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$.

Проверим себя: при $x=\dfrac{\pi}{4}$ имеем $\sin^{2}x=\dfrac12$, $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos^{2}x=\dfrac12$. Слева $2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ — как раз правая часть. Верно.

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$. Переведём концы в четверти $\pi$: $-\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{14\pi}{4}$, а $-2\pi=-\dfrac{8\pi}{4}$. Значит нужны числа вида $\dfrac{k\pi}{4}$, у которых $-14\leqslant k\leqslant -8$.

Серия $x=\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{4\pi n}{4}$, то есть $k=4n$: при $n=-2$ выходит $k=-8$ — это ровно правый конец отрезка, он входит, корень $x=-2\pi$; при $n=-3$ выходит $k=-12$ — внутри отрезка, корень $x=-3\pi$; при $n=-4$ было бы $k=-16$ — левее левого конца.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(1+8n)\pi}{4}$, то есть $k=1+8n$: при $n=-1$ выходит $k=-7$ (правее отрезка), при $n=-2$ выходит $k=-15$ (левее отрезка). Попаданий нет.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(8n-1)\pi}{4}$, то есть $k=8n-1$: при $n=-1$ выходит $k=-9$, и $-14\leqslant -9\leqslant -8$ — подходит корень $x=-\dfrac{9\pi}{4}$; при $n=-2$ выходит $k=-17$ — слишком мало.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров $k$ ($-12$, $-9$, $-8$): $-3\pi$, $-\dfrac{9\pi}{4}$, $-2\pi$.