а) Решите уравнение 2 синус в квадрате x умножить на косинус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x равно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7пи, знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2пи правая квадратная скобка .

а) x равно пиn , x равно дробь: числитель: пи, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2пиn , x равно минус дробь: числитель: пи, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2пиn , n принадлежит Z б) минус 3пи; минус дробь: числитель: 9пи, знаменатель: 4 конец дроби ; минус 2пи

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус в квадрате x умножить на косинус x…

№2. Задание 13

ID: 00028781

а) Решите уравнение $2\sin^{2}x\cdot\cos x+\sqrt{2}\cos^{2}x=\sqrt{2}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Слева стоят квадраты синуса и косинуса, справа — просто число $\sqrt{2}$ . Хитрость в том, что это число можно «раскрасить»: заменить его на $\sqrt{2}$ , умноженное на единицу, а единицу расписать по основному тригонометрическому тождеству. Тогда всё соберётся в произведение.

Перенесём правую часть влево: $2\sin^{2}x\cos x+\sqrt{2}\cos^{2}x-\sqrt{2}=0$ . Вынесем $\sqrt{2}$ у двух последних слагаемых: $\sqrt{2}\left(\cos^{2}x-1\right)$ .

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ , откуда $\cos^{2}x-1=-\sin^{2}x$ . Значит уравнение принимает вид $2\sin^{2}x\cos x-\sqrt{2}\sin^{2}x=0$ .

Теперь в обоих слагаемых есть множитель $\sin^{2}x$ — выносим его:

$\sin^{2}x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0.$

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Разбираем два случая.

Первый случай: $\sin^{2}x=0$ , то есть $\sin x=0$ . Синус обращается в ноль при $x=\pi n$ , где $n$ — любое целое число.

Второй случай: $2\cos x-\sqrt{2}=0$ , то есть $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Это табличное значение; ему отвечают две симметричные относительно нуля серии: $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ .

Проверим себя: при $x=\dfrac{\pi}{4}$ имеем $\sin^{2}x=\dfrac12$ , $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos^{2}x=\dfrac12$ . Слева $2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ — как раз правая часть. Верно.

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ . Переведём концы в четверти $\pi$ : $-\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{14\pi}{4}$ , а $-2\pi=-\dfrac{8\pi}{4}$ . Значит нужны числа вида $\dfrac{k\pi}{4}$ , у которых $-14\leqslant k\leqslant -8$ .

Серия $x=\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{4\pi n}{4}$ , то есть $k=4n$ : при $n=-2$ выходит $k=-8$ — это ровно правый конец отрезка, он входит, корень $x=-2\pi$ ; при $n=-3$ выходит $k=-12$ — внутри отрезка, корень $x=-3\pi$ ; при $n=-4$ было бы $k=-16$ — левее левого конца.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(1+8n)\pi}{4}$ , то есть $k=1+8n$ : при $n=-1$ выходит $k=-7$ (правее отрезка), при $n=-2$ выходит $k=-15$ (левее отрезка). Попаданий нет.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(8n-1)\pi}{4}$ , то есть $k=8n-1$ : при $n=-1$ выходит $k=-9$ , и $-14\leqslant -9\leqslant -8$ — подходит корень $x=-\dfrac{9\pi}{4}$ ; при $n=-2$ выходит $k=-17$ — слишком мало.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров $k$ ( $-12$ , $-9$ , $-8$ ): $-3\pi$ , $-\dfrac{9\pi}{4}$ , $-2\pi$ .

Ответ

а) $x=\pi n$ , $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ , $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $-3\pi;\ -\dfrac{9\pi}{4};\ -2\pi$