Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028779

В уравнении есть синус со сдвинутым аргументом и синус двойного угла. Сначала избавимся от сдвига формулой приведения, потом распишем двойной угол — и в обоих слагаемых окажется общий множитель $\cos x$.

Формула приведения даёт $\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\cos x$. Нас интересует квадрат, а при возведении в квадрат минус исчезает: $\sin^{2}\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos^{2}x$.

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

Подставляем: $2\sqrt{3}\cos^{2}x+2\sin x\cos x=0$. Теперь в обоих слагаемых есть множитель $2\cos x$ — выносим его:

$$2\cos x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Получаем два случая.

Первый случай: $\cos x=0$, откуда $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, где $n$ — целое.

Второй случай: $\sqrt{3}\cos x+\sin x=0$. Такое уравнение (в нём синус и косинус в первой степени) называют однородным, и решают его делением на косинус. Делить можно смело: если бы $\cos x$ был равен нулю, то из уравнения следовало бы и $\sin x=0$, а вместе синус и косинус в ноль не обращаются никогда — мешает тождество $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$.

Делим обе части на $\cos x$: $\sqrt{3}+\mathrm{tg}\,x=0$, то есть $\mathrm{tg}\,x=-\sqrt{3}$. У тангенса период $\pi$, поэтому решение — одна серия: $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$.

Проверим себя: при $x=-\dfrac{\pi}{3}$ имеем $\cos x=\dfrac12$, $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $2\sqrt{3}\cdot\dfrac14+2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$. Верно.

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]$. Переведём концы в шестые доли $\pi$: $-4\pi=-\dfrac{24\pi}{6}$, а $-\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{15\pi}{6}$. Значит нужны числа вида $\dfrac{k\pi}{6}$, у которых $-24\leqslant k\leqslant -15$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ в шестых долях — это $\dfrac{(3+6n)\pi}{6}$, то есть $k=3+6n$: при $n=-3$ выходит $k=-15$, это ровно правый конец отрезка, он входит — корень $x=-\dfrac{5\pi}{2}$; при $n=-4$ выходит $k=-21$ — внутри отрезка, корень $x=-\dfrac{21\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{2}$; при $n=-5$ было бы $k=-27$ — левее левого конца.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ — это $\dfrac{(6n-2)\pi}{6}$, то есть $k=6n-2$: при $n=-2$ выходит $k=-14$ (правее отрезка), при $n=-3$ выходит $k=-20$ — попадает, корень $x=-\dfrac{20\pi}{6}=-\dfrac{10\pi}{3}$; при $n=-4$ выходит $k=-26$ — левее отрезка.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров $k$ ($-21$, $-20$, $-15$): $-\dfrac{7\pi}{2}$, $-\dfrac{10\pi}{3}$, $-\dfrac{5\pi}{2}$.