а) Решите уравнение 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3пи, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс синус 2x равно 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 4пи; минус дробь: числитель: 5пи, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

а) x равно дробь: числитель: пи, знаменатель: 2 конец дроби плюс пиn , x равно минус дробь: числитель: пи, знаменатель: 3 конец дроби плюс пиn , n принадлежит Z б) минус дробь: числитель: 7пи, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 10пи, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5пи, знаменатель: 2 конец дроби

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 корень из: начало аргумента: 3 конец…

№2. Задание 13

ID: 00028779

а) Решите уравнение $2\sqrt{3}\sin^{2}\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\sin 2x=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В уравнении есть синус со сдвинутым аргументом и синус двойного угла. Сначала избавимся от сдвига формулой приведения, потом распишем двойной угол — и в обоих слагаемых окажется общий множитель $\cos x$ .

Формула приведения даёт $\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\cos x$ . Нас интересует квадрат, а при возведении в квадрат минус исчезает: $\sin^{2}\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos^{2}x$ .

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$ .

Подставляем: $2\sqrt{3}\cos^{2}x+2\sin x\cos x=0$ . Теперь в обоих слагаемых есть множитель $2\cos x$ — выносим его:

$2\cos x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0.$

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Получаем два случая.

Первый случай: $\cos x=0$ , откуда $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ , где $n$ — целое.

Второй случай: $\sqrt{3}\cos x+\sin x=0$ . Такое уравнение (в нём синус и косинус в первой степени) называют однородным, и решают его делением на косинус. Делить можно смело: если бы $\cos x$ был равен нулю, то из уравнения следовало бы и $\sin x=0$ , а вместе синус и косинус в ноль не обращаются никогда — мешает тождество $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ .

Делим обе части на $\cos x$ : $\sqrt{3}+\mathrm{tg}\,x=0$ , то есть $\mathrm{tg}\,x=-\sqrt{3}$ . У тангенса период $\pi$ , поэтому решение — одна серия: $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ .

Проверим себя: при $x=-\dfrac{\pi}{3}$ имеем $\cos x=\dfrac12$ , $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Тогда $2\sqrt{3}\cdot\dfrac14+2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$ . Верно.

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]$ . Переведём концы в шестые доли $\pi$ : $-4\pi=-\dfrac{24\pi}{6}$ , а $-\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{15\pi}{6}$ . Значит нужны числа вида $\dfrac{k\pi}{6}$ , у которых $-24\leqslant k\leqslant -15$ .

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ в шестых долях — это $\dfrac{(3+6n)\pi}{6}$ , то есть $k=3+6n$ : при $n=-3$ выходит $k=-15$ , это ровно правый конец отрезка, он входит — корень $x=-\dfrac{5\pi}{2}$ ; при $n=-4$ выходит $k=-21$ — внутри отрезка, корень $x=-\dfrac{21\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{2}$ ; при $n=-5$ было бы $k=-27$ — левее левого конца.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ — это $\dfrac{(6n-2)\pi}{6}$ , то есть $k=6n-2$ : при $n=-2$ выходит $k=-14$ (правее отрезка), при $n=-3$ выходит $k=-20$ — попадает, корень $x=-\dfrac{20\pi}{6}=-\dfrac{10\pi}{3}$ ; при $n=-4$ выходит $k=-26$ — левее отрезка.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров $k$ ( $-21$ , $-20$ , $-15$ ): $-\dfrac{7\pi}{2}$ , $-\dfrac{10\pi}{3}$ , $-\dfrac{5\pi}{2}$ .

Ответ

а) $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ , $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{7\pi}{2};\ -\dfrac{10\pi}{3};\ -\dfrac{5\pi}{2}$