Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение синус 2x минус синус левая круглая скобка…

В уравнении перемешаны синус двойного угла и функции от -x. Сначала уберём минусы в аргументах и распишем двойной угол, а потом сгруппируем слагаемые — тогда появится общий множитель и уравнение распадётся на два простых.

Синус — функция нечётная, значит \sin(-x)=-\sin x, и слагаемое -\sin(-x) превращается в +\sin x. Косинус — функция чётная, поэтому \cos(-x)=\cos x. Наконец, по формуле синуса двойного угла \sin 2x=2\sin x\cos x.

После всех подстановок уравнение принимает вид

2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=0.

Группируем слагаемые попарно: первые два и последние два. В первой паре выносим \sin x: 2\sin x\cos x+\sin x=\sin x(2\cos x+1). Во второй паре выносим единицу: 2\cos x+1 — это уже готовая скобка.

Получаем \sin x(2\cos x+1)+(2\cos x+1)=0, и общая скобка выносится наружу:

(2\cos x+1)(\sin x+1)=0.

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Разбираем два случая.

Первый случай: 2\cos x+1=0, то есть \cos x=-\dfrac12. Это табличное значение, ему отвечают две симметричные серии: x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n и x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n.

Второй случай: \sin x+1=0, то есть \sin x=-1. Синус достигает своего наименьшего значения -1 ровно в одной точке круга — в «нижней»: x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n. Здесь серия одна, потому что -1 — это минимум, а не промежуточное значение.

Проверим себя: при x=-\dfrac{\pi}{2} имеем \sin x=-1, \cos x=0, \sin 2x=\sin(-\pi)=0. Подставляя в исходное уравнение: 0-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+1=0-1+0+1=0. Верно.

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке \left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]. Переведём концы в шестые доли \pi: \dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{9\pi}{6}, а 3\pi=\dfrac{18\pi}{6}. Значит нужны числа вида \dfrac{k\pi}{6}, у которых 9\leqslant k\leqslant 18.

Серия x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n в шестых долях — это \dfrac{(4+12n)\pi}{6}, то есть k=4+12n: при n=0 выходит k=4 (мало), при n=1 выходит k=16 — попадает, корень x=\dfrac{16\pi}{6}=\dfrac{8\pi}{3}; при n=2 было бы k=28 — много.

Серия x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n — это \dfrac{(12n-4)\pi}{6}, то есть k=12n-4: при n=1 выходит k=8 (на единицу меньше девяти, не дотянул), при n=2 выходит k=20 (перелёт). Попаданий нет.

Серия x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n — это \dfrac{(12n-3)\pi}{6}, то есть k=12n-3: при n=1 выходит k=9, а это ровно левый конец отрезка, он входит — корень x=\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}; при n=2 выходит k=21 — за правым концом.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров k (9, затем 16): \dfrac{3\pi}{2} и \dfrac{8\pi}{3}.