Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028778

В уравнении перемешаны синус двойного угла и функции от $-x$. Сначала уберём минусы в аргументах и распишем двойной угол, а потом сгруппируем слагаемые — тогда появится общий множитель и уравнение распадётся на два простых.

Синус — функция нечётная, значит $\sin(-x)=-\sin x$, и слагаемое $-\sin(-x)$ превращается в $+\sin x$. Косинус — функция чётная, поэтому $\cos(-x)=\cos x$. Наконец, по формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

После всех подстановок уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=0.$$

Группируем слагаемые попарно: первые два и последние два. В первой паре выносим $\sin x$: $2\sin x\cos x+\sin x=\sin x(2\cos x+1)$. Во второй паре выносим единицу: $2\cos x+1$ — это уже готовая скобка.

Получаем $\sin x(2\cos x+1)+(2\cos x+1)=0$, и общая скобка выносится наружу:

$$(2\cos x+1)(\sin x+1)=0.$$

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Разбираем два случая.

Первый случай: $2\cos x+1=0$, то есть $\cos x=-\dfrac12$. Это табличное значение, ему отвечают две симметричные серии: $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$.

Второй случай: $\sin x+1=0$, то есть $\sin x=-1$. Синус достигает своего наименьшего значения $-1$ ровно в одной точке круга — в «нижней»: $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$. Здесь серия одна, потому что $-1$ — это минимум, а не промежуточное значение.

Проверим себя: при $x=-\dfrac{\pi}{2}$ имеем $\sin x=-1$, $\cos x=0$, $\sin 2x=\sin(-\pi)=0$. Подставляя в исходное уравнение: $0-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+1=0-1+0+1=0$. Верно.

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$. Переведём концы в шестые доли $\pi$: $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{9\pi}{6}$, а $3\pi=\dfrac{18\pi}{6}$. Значит нужны числа вида $\dfrac{k\pi}{6}$, у которых $9\leqslant k\leqslant 18$.

Серия $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ в шестых долях — это $\dfrac{(4+12n)\pi}{6}$, то есть $k=4+12n$: при $n=0$ выходит $k=4$ (мало), при $n=1$ выходит $k=16$ — попадает, корень $x=\dfrac{16\pi}{6}=\dfrac{8\pi}{3}$; при $n=2$ было бы $k=28$ — много.

Серия $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n-4)\pi}{6}$, то есть $k=12n-4$: при $n=1$ выходит $k=8$ (на единицу меньше девяти, не дотянул), при $n=2$ выходит $k=20$ (перелёт). Попаданий нет.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n-3)\pi}{6}$, то есть $k=12n-3$: при $n=1$ выходит $k=9$, а это ровно левый конец отрезка, он входит — корень $x=\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$; при $n=2$ выходит $k=21$ — за правым концом.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров $k$ ($9$, затем $16$): $\dfrac{3\pi}{2}$ и $\dfrac{8\pi}{3}$.