а) Решите уравнение косинус x умножить на косинус 2x равно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс косинус x . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5пи, знаменатель: 2 конец дроби ; минус пи правая квадратная скобка .

а) x равно пиn , x равно дробь: числитель: 3пи, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2пиn , x равно минус дробь: числитель: 3пи, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2пиn , n принадлежит Z б) минус 2пи; минус дробь: числитель: 5пи, знаменатель: 4 конец дроби ; минус пи

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение косинус x умножить на косинус 2x равно…

№2. Задание 13

ID: 00028775

а) Решите уравнение $\cos x\cdot\cos 2x=\sqrt{2}\sin^{2}x+\cos x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В уравнении есть косинус двойного угла, квадрат синуса и одиночный косинус. Раскрывать всё подряд не нужно: если перенести правую часть влево и сгруппировать, появится общий множитель, и уравнение распадётся на два простых.

Переносим $\cos x$ влево и выносим косинус за скобку у первых двух слагаемых: $\cos x\cos 2x-\cos x=\cos x(\cos 2x-1)$ . Уравнение принимает вид $\cos x(\cos 2x-1)-\sqrt{2}\sin^{2}x=0$ .

Теперь пригодится формула косинуса двойного угла в удобном виде: $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$ . Отсюда $\cos 2x-1=-2\sin^{2}x$ .

Подставляем: $-2\sin^{2}x\cos x-\sqrt{2}\sin^{2}x=0$ . Теперь в обоих слагаемых есть $\sin^{2}x$ — выносим его:

$-\sin^{2}x\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0.$

Множитель $-1$ на равенство нулю не влияет, поэтому дальше работаем с $\sin^{2}x\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0$ . Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один из множителей.

Первый случай: $\sin^{2}x=0$ , то есть $\sin x=0$ , откуда $x=\pi n$ , где $n$ — любое целое число.

Второй случай: $2\cos x+\sqrt{2}=0$ , то есть $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Косинус принимает это значение при $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ и при $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ — две симметричные серии.

Проверим себя: при $x=\dfrac{3\pi}{4}$ имеем $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin^{2}x=\dfrac12$ , $\cos 2x=\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$ . Слева $\cos x\cos 2x=0$ , справа $\sqrt{2}\cdot\dfrac12+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0$ . Совпало.

Переходим к пункту б. Отбираем корни, попавшие на отрезок $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right]$ . Чтобы удобно сравнивать, переведём всё в четверти $\pi$ : $-\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{10\pi}{4}$ , а $-\pi=-\dfrac{4\pi}{4}$ . Значит нас интересуют числа вида $\dfrac{k\pi}{4}$ , у которых $-10\leqslant k\leqslant -4$ .

Серия $x=\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{4\pi n}{4}$ , то есть $k=4n$ : при $n=-1$ выходит $k=-4$ , то есть $x=-\pi$ (правый конец отрезка входит); при $n=-2$ выходит $k=-8$ , то есть $x=-2\pi$ — тоже внутри; при $n=-3$ было бы $k=-12$ , это левее левого конца.

Серия $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(3+8n)\pi}{4}$ , то есть $k=3+8n$ : при $n=-1$ выходит $k=-5$ , и $-10\leqslant -5\leqslant -4$ — подходит корень $x=-\dfrac{5\pi}{4}$ ; при $n=-2$ выходит $k=-13$ — слишком мало.

Серия $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(8n-3)\pi}{4}$ , то есть $k=8n-3$ : при $n=0$ выходит $k=-3$ (правее отрезка), при $n=-1$ выходит $k=-11$ (левее отрезка). Попаданий нет.

Расставляем отобранные корни по возрастанию номеров $k$ ( $-8$ , $-5$ , $-4$ ): $-2\pi$ , $-\dfrac{5\pi}{4}$ , $-\pi$ .

Ответ

а) $x=\pi n$ , $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ , $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $-2\pi;\ -\dfrac{5\pi}{4};\ -\pi$