Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028775

В уравнении есть косинус двойного угла, квадрат синуса и одиночный косинус. Раскрывать всё подряд не нужно: если перенести правую часть влево и сгруппировать, появится общий множитель, и уравнение распадётся на два простых.

Переносим $\cos x$ влево и выносим косинус за скобку у первых двух слагаемых: $\cos x\cos 2x-\cos x=\cos x(\cos 2x-1)$. Уравнение принимает вид $\cos x(\cos 2x-1)-\sqrt{2}\sin^{2}x=0$.

Теперь пригодится формула косинуса двойного угла в удобном виде: $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$. Отсюда $\cos 2x-1=-2\sin^{2}x$.

Подставляем: $-2\sin^{2}x\cos x-\sqrt{2}\sin^{2}x=0$. Теперь в обоих слагаемых есть $\sin^{2}x$ — выносим его:

$$-\sin^{2}x\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Множитель $-1$ на равенство нулю не влияет, поэтому дальше работаем с $\sin^{2}x\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0$. Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один из множителей.

Первый случай: $\sin^{2}x=0$, то есть $\sin x=0$, откуда $x=\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Второй случай: $2\cos x+\sqrt{2}=0$, то есть $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Косинус принимает это значение при $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ и при $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ — две симметричные серии.

Проверим себя: при $x=\dfrac{3\pi}{4}$ имеем $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin^{2}x=\dfrac12$, $\cos 2x=\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$. Слева $\cos x\cos 2x=0$, справа $\sqrt{2}\cdot\dfrac12+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0$. Совпало.

Переходим к пункту б. Отбираем корни, попавшие на отрезок $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right]$. Чтобы удобно сравнивать, переведём всё в четверти $\pi$: $-\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{10\pi}{4}$, а $-\pi=-\dfrac{4\pi}{4}$. Значит нас интересуют числа вида $\dfrac{k\pi}{4}$, у которых $-10\leqslant k\leqslant -4$.

Серия $x=\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{4\pi n}{4}$, то есть $k=4n$: при $n=-1$ выходит $k=-4$, то есть $x=-\pi$ (правый конец отрезка входит); при $n=-2$ выходит $k=-8$, то есть $x=-2\pi$ — тоже внутри; при $n=-3$ было бы $k=-12$, это левее левого конца.

Серия $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(3+8n)\pi}{4}$, то есть $k=3+8n$: при $n=-1$ выходит $k=-5$, и $-10\leqslant -5\leqslant -4$ — подходит корень $x=-\dfrac{5\pi}{4}$; при $n=-2$ выходит $k=-13$ — слишком мало.

Серия $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(8n-3)\pi}{4}$, то есть $k=8n-3$: при $n=0$ выходит $k=-3$ (правее отрезка), при $n=-1$ выходит $k=-11$ (левее отрезка). Попаданий нет.

Расставляем отобранные корни по возрастанию номеров $k$ ($-8$, $-5$, $-4$): $-2\pi$, $-\dfrac{5\pi}{4}$, $-\pi$.