Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028772

Здесь смешаны синус двойного угла и функции от $-x$. Первый шаг всегда один и тот же: избавиться от лишних аргументов, чтобы во всём уравнении остался только угол $x$. Тогда слагаемые получится сгруппировать и разложить на множители.

Синус — нечётная функция, то есть $\sin(-x)=-\sin x$; косинус — чётная, то есть $\cos(-x)=\cos x$. Кроме того, по формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

Подставляем всё это: $2\sin x\cos x+2\cdot(-\sin x)+\cos x-1=0$, то есть

$$2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=0.$$

Теперь группируем: первые два слагаемых и последние два. В первой паре выносим $2\sin x$: $2\sin x\cos x-2\sin x=2\sin x(\cos x-1)$. Вторая пара — это уже готовая скобка $(\cos x-1)$.

Получаем $2\sin x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0$, и общий множитель $(\cos x-1)$ выносится наружу:

$$(\cos x-1)(2\sin x+1)=0.$$

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Разбираем два случая.

Первый случай: $\cos x-1=0$, то есть $\cos x=1$. Косинус равен единице только в точках $x=2\pi n$, где $n$ — целое.

Второй случай: $2\sin x+1=0$, то есть $\sin x=-\dfrac{1}{2}$. Синус равен $-\dfrac12$ в двух сериях: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ (это точка в четвёртой четверти) и $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n$ (симметричная ей точка в третьей четверти).

Проверим себя: при $x=\dfrac{7\pi}{6}$ имеем $\sin x=-\dfrac12$, $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=2\cdot\left(-\dfrac12\right)\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$. Верно.

Переходим к пункту б. Отбираем из трёх серий числа, попавшие на отрезок $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$. Удобно всё перевести в шестые доли $\pi$: $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$, а $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}$. Значит ищем числа вида $\dfrac{k\pi}{6}$ с условием $12\leqslant k\leqslant 21$.

Серия $x=2\pi n$ — это $\dfrac{12\pi n}{6}$, то есть $k=12n$: при $n=1$ выходит $k=12$, и это ровно левый конец отрезка, он входит — корень $x=2\pi$. При $n=2$ было бы $k=24$, это уже за правым концом.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n-1)\pi}{6}$, то есть $k=12n-1$: при $n=1$ выходит $k=11$ (чуть меньше $12$, не попал), при $n=2$ выходит $k=23$ (больше $21$, тоже мимо). Попаданий нет.

Серия $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n+7)\pi}{6}$, то есть $k=12n+7$: при $n=0$ выходит $k=7$ (мало), при $n=1$ выходит $k=19$ — это между $12$ и $21$, подходит корень $x=\dfrac{19\pi}{6}$. При $n=2$ было бы $k=31$ — много.

Собираем отобранное по возрастанию номеров $k$ ($12$, затем $19$): это $2\pi$ и $\dfrac{19\pi}{6}$.