а) Решите уравнение синус 2x плюс 2 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 1 равно 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка 2пи; дробь: числитель: 7пи, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

а) x равно 2пиn , x равно минус дробь: числитель: пи, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2пиn , x равно дробь: числитель: 7пи, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2пиn , n принадлежит Z б) 2пи; дробь: числитель: 19пи, знаменатель: 6 конец дроби

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение синус 2x плюс 2 синус левая круглая скобка…

№2. Задание 13

ID: 00028772

а) Решите уравнение $\sin 2x+2\sin(-x)+\cos(-x)-1=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Здесь смешаны синус двойного угла и функции от $-x$ . Первый шаг всегда один и тот же: избавиться от лишних аргументов, чтобы во всём уравнении остался только угол $x$ . Тогда слагаемые получится сгруппировать и разложить на множители.

Синус — нечётная функция, то есть $\sin(-x)=-\sin x$ ; косинус — чётная, то есть $\cos(-x)=\cos x$ . Кроме того, по формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$ .

Подставляем всё это: $2\sin x\cos x+2\cdot(-\sin x)+\cos x-1=0$ , то есть

$2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=0.$

Теперь группируем: первые два слагаемых и последние два. В первой паре выносим $2\sin x$ : $2\sin x\cos x-2\sin x=2\sin x(\cos x-1)$ . Вторая пара — это уже готовая скобка $(\cos x-1)$ .

Получаем $2\sin x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0$ , и общий множитель $(\cos x-1)$ выносится наружу:

$(\cos x-1)(2\sin x+1)=0.$

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Разбираем два случая.

Первый случай: $\cos x-1=0$ , то есть $\cos x=1$ . Косинус равен единице только в точках $x=2\pi n$ , где $n$ — целое.

Второй случай: $2\sin x+1=0$ , то есть $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ . Синус равен $-\dfrac12$ в двух сериях: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ (это точка в четвёртой четверти) и $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n$ (симметричная ей точка в третьей четверти).

Проверим себя: при $x=\dfrac{7\pi}{6}$ имеем $\sin x=-\dfrac12$ , $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Тогда $2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=2\cdot\left(-\dfrac12\right)\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$ . Верно.

Переходим к пункту б. Отбираем из трёх серий числа, попавшие на отрезок $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$ . Удобно всё перевести в шестые доли $\pi$ : $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$ , а $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}$ . Значит ищем числа вида $\dfrac{k\pi}{6}$ с условием $12\leqslant k\leqslant 21$ .

Серия $x=2\pi n$ — это $\dfrac{12\pi n}{6}$ , то есть $k=12n$ : при $n=1$ выходит $k=12$ , и это ровно левый конец отрезка, он входит — корень $x=2\pi$ . При $n=2$ было бы $k=24$ , это уже за правым концом.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n-1)\pi}{6}$ , то есть $k=12n-1$ : при $n=1$ выходит $k=11$ (чуть меньше $12$ , не попал), при $n=2$ выходит $k=23$ (больше $21$ , тоже мимо). Попаданий нет.

Серия $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n+7)\pi}{6}$ , то есть $k=12n+7$ : при $n=0$ выходит $k=7$ (мало), при $n=1$ выходит $k=19$ — это между $12$ и $21$ , подходит корень $x=\dfrac{19\pi}{6}$ . При $n=2$ было бы $k=31$ — много.

Собираем отобранное по возрастанию номеров $k$ ( $12$ , затем $19$ ): это $2\pi$ и $\dfrac{19\pi}{6}$ .

Ответ

а) $x=2\pi n$ , $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ , $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $2\pi;\ \dfrac{19\pi}{6}$