а) Решите уравнение 2 синус x косинус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате x . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: 7пи, знаменатель: 2 конец дроби ; 5пи правая квадратная скобка .

а) x равно дробь: числитель: пи, знаменатель: 2 конец дроби плюс пиn , x равно минус дробь: числитель: пи, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2пиn , x равно минус дробь: числитель: 2пи, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2пиn , n принадлежит Z б) дробь: числитель: 7пи, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 11пи, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 9пи, знаменатель: 2 конец дроби

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус x косинус в квадрате x плюс корень…

№2. Задание 13

ID: 00028780

а) Решите уравнение $2\sin x\cos^{2}x+\sqrt{3}=\sqrt{3}\sin^{2}x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В уравнении есть и синус, и косинус, причём в разных степенях. Ключ к решению — заметить, что свободное слагаемое $\sqrt{3}$ и правая часть $\sqrt{3}\sin^{2}x$ вместе сворачиваются в косинус. После этого появится общий множитель, и уравнение распадётся на простые.

Перенесём правую часть влево: $2\sin x\cos^{2}x+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sin^{2}x=0$ . Вынесем $\sqrt{3}$ у двух последних слагаемых: $\sqrt{3}\left(1-\sin^{2}x\right)$ .

Здесь работает основное тригонометрическое тождество $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ , из которого $1-\sin^{2}x=\cos^{2}x$ . Значит уравнение принимает вид $2\sin x\cos^{2}x+\sqrt{3}\cos^{2}x=0$ .

Теперь в обоих слагаемых есть множитель $\cos^{2}x$ — выносим его:

$\cos^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Разбираем два случая.

Первый случай: $\cos^{2}x=0$ , то есть $\cos x=0$ . Косинус обращается в ноль при $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ , где $n$ — целое.

Второй случай: $2\sin x+\sqrt{3}=0$ , то есть $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Это табличное значение; синус принимает его в двух точках круга — в четвёртой и в третьей четвертях. Отсюда две серии: $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ .

Проверим себя: при $x=-\dfrac{\pi}{3}$ имеем $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos^{2}x=\dfrac14$ . Слева $2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\dfrac14+\sqrt{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ , справа $\sqrt{3}\cdot\dfrac34=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ . Совпало.

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$ . Переведём концы в шестые доли $\pi$ : $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}$ , а $5\pi=\dfrac{30\pi}{6}$ . Значит нужны числа вида $\dfrac{k\pi}{6}$ , у которых $21\leqslant k\leqslant 30$ .

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ в шестых долях — это $\dfrac{(3+6n)\pi}{6}$ , то есть $k=3+6n$ : при $n=3$ выходит $k=21$ — это ровно левый конец, он входит, корень $x=\dfrac{7\pi}{2}$ ; при $n=4$ выходит $k=27$ — внутри, корень $x=\dfrac{27\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{2}$ ; при $n=5$ было бы $k=33$ — за правым концом.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n-2)\pi}{6}$ , то есть $k=12n-2$ : при $n=2$ выходит $k=22$ — попадает, корень $x=\dfrac{22\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{3}$ ; при $n=3$ выходит $k=34$ — много.

Серия $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n-4)\pi}{6}$ , то есть $k=12n-4$ : при $n=2$ выходит $k=20$ (на единицу меньше двадцати одного, не дотянул), при $n=3$ выходит $k=32$ (перелёт). Попаданий нет.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров $k$ ( $21$ , $22$ , $27$ ): $\dfrac{7\pi}{2}$ , $\dfrac{11\pi}{3}$ , $\dfrac{9\pi}{2}$ .

Ответ

а) $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ , $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ , $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $\dfrac{7\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{3};\ \dfrac{9\pi}{2}$