Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028780

В уравнении есть и синус, и косинус, причём в разных степенях. Ключ к решению — заметить, что свободное слагаемое $\sqrt{3}$ и правая часть $\sqrt{3}\sin^{2}x$ вместе сворачиваются в косинус. После этого появится общий множитель, и уравнение распадётся на простые.

Перенесём правую часть влево: $2\sin x\cos^{2}x+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sin^{2}x=0$. Вынесем $\sqrt{3}$ у двух последних слагаемых: $\sqrt{3}\left(1-\sin^{2}x\right)$.

Здесь работает основное тригонометрическое тождество $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$, из которого $1-\sin^{2}x=\cos^{2}x$. Значит уравнение принимает вид $2\sin x\cos^{2}x+\sqrt{3}\cos^{2}x=0$.

Теперь в обоих слагаемых есть множитель $\cos^{2}x$ — выносим его:

$$\cos^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Разбираем два случая.

Первый случай: $\cos^{2}x=0$, то есть $\cos x=0$. Косинус обращается в ноль при $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, где $n$ — целое.

Второй случай: $2\sin x+\sqrt{3}=0$, то есть $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Это табличное значение; синус принимает его в двух точках круга — в четвёртой и в третьей четвертях. Отсюда две серии: $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$.

Проверим себя: при $x=-\dfrac{\pi}{3}$ имеем $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos^{2}x=\dfrac14$. Слева $2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\dfrac14+\sqrt{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$, справа $\sqrt{3}\cdot\dfrac34=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$. Совпало.

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$. Переведём концы в шестые доли $\pi$: $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}$, а $5\pi=\dfrac{30\pi}{6}$. Значит нужны числа вида $\dfrac{k\pi}{6}$, у которых $21\leqslant k\leqslant 30$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ в шестых долях — это $\dfrac{(3+6n)\pi}{6}$, то есть $k=3+6n$: при $n=3$ выходит $k=21$ — это ровно левый конец, он входит, корень $x=\dfrac{7\pi}{2}$; при $n=4$ выходит $k=27$ — внутри, корень $x=\dfrac{27\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{2}$; при $n=5$ было бы $k=33$ — за правым концом.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n-2)\pi}{6}$, то есть $k=12n-2$: при $n=2$ выходит $k=22$ — попадает, корень $x=\dfrac{22\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{3}$; при $n=3$ выходит $k=34$ — много.

Серия $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n-4)\pi}{6}$, то есть $k=12n-4$: при $n=2$ выходит $k=20$ (на единицу меньше двадцати одного, не дотянул), при $n=3$ выходит $k=32$ (перелёт). Попаданий нет.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров $k$ ($21$, $22$, $27$): $\dfrac{7\pi}{2}$, $\dfrac{11\pi}{3}$, $\dfrac{9\pi}{2}$.