Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 косинус в кубе x плюс корень из: начало…

В уравнении соседствуют косинус в кубе и квадрат синуса. Раскладывать всё на элементарные кусочки не нужно — гораздо выгоднее собрать в левой части общий множитель, и тогда уравнение распадётся на два простых.

Перенесём 2\cos x влево: 2\cos^{3}x-2\cos x+\sqrt{2}\sin^{2}x=0.

У первых двух слагаемых общий множитель 2\cos x: 2\cos^{3}x-2\cos x=2\cos x\left(\cos^{2}x-1\right).

Дальше пригодится основное тригонометрическое тождество — равенство \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, верное при любом x. Из него \cos^{2}x-1=-\sin^{2}x. Значит первые два слагаемых равны -2\cos x\sin^{2}x.

Уравнение принимает вид -2\sin^{2}x\cos x+\sqrt{2}\sin^{2}x=0. Теперь общий множитель виден сразу — это \sin^{2}x:

\sin^{2}x\left(\sqrt{2}-2\cos x\right)=0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда ноль хотя бы один множитель. Разбираем два случая.

Первый случай: \sin^{2}x=0, то есть \sin x=0. Синус обращается в ноль в точках x=\pi n, где n — любое целое число.

Второй случай: \sqrt{2}-2\cos x=0, откуда \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Косинус принимает это значение при x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n и при x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n — две симметричные относительно нуля серии.

Проверим себя на одном значении: возьмём x=\dfrac{\pi}{4}. Тогда \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin^{2}x=\dfrac12. Слева 2\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}+\sqrt{2}\cdot\dfrac12=2\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{8}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}, справа 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}. Совпало.

Переходим к пункту б. Нужно выбрать из найденных серий те числа, что попали на отрезок \left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]. Чтобы не путаться в дробях, переведём всё в четверти \pi: \dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{10\pi}{4}, а 4\pi=\dfrac{16\pi}{4}. Значит нас интересуют числа вида \dfrac{k\pi}{4}, у которых 10\leqslant k\leqslant 16.

Серия x=\pi n в четвертях — это \dfrac{4\pi n}{4}, то есть k=4n. Подходящие k из промежутка от 10 до 16: при n=3 получаем k=12, то есть x=3\pi; при n=4 получаем k=16, то есть x=4\pi (правый конец отрезка входит). При n=2 было бы k=8 — слишком мало.

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n — это \dfrac{(1+8n)\pi}{4}, то есть k=1+8n: при n=1 выходит k=9 (мало), при n=2 выходит k=17 (много). Ни одного попадания.

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n — это \dfrac{(-1+8n)\pi}{4}, то есть k=8n-1: при n=1 выходит k=7 (мало), при n=2 выходит k=15, и это как раз между 10 и 16 — подходит x=\dfrac{15\pi}{4}.

Собираем отобранные корни по возрастанию, сравнивая их номера k: 12, 15, 16, то есть 3\pi, \dfrac{15\pi}{4}, 4\pi.