Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028771

В уравнении соседствуют косинус в кубе и квадрат синуса. Раскладывать всё на элементарные кусочки не нужно — гораздо выгоднее собрать в левой части общий множитель, и тогда уравнение распадётся на два простых.

Перенесём $2\cos x$ влево: $2\cos^{3}x-2\cos x+\sqrt{2}\sin^{2}x=0$.

У первых двух слагаемых общий множитель $2\cos x$: $2\cos^{3}x-2\cos x=2\cos x\left(\cos^{2}x-1\right)$.

Дальше пригодится основное тригонометрическое тождество — равенство $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$, верное при любом $x$. Из него $\cos^{2}x-1=-\sin^{2}x$. Значит первые два слагаемых равны $-2\cos x\sin^{2}x$.

Уравнение принимает вид $-2\sin^{2}x\cos x+\sqrt{2}\sin^{2}x=0$. Теперь общий множитель виден сразу — это $\sin^{2}x$:

$$\sin^{2}x\left(\sqrt{2}-2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда ноль хотя бы один множитель. Разбираем два случая.

Первый случай: $\sin^{2}x=0$, то есть $\sin x=0$. Синус обращается в ноль в точках $x=\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Второй случай: $\sqrt{2}-2\cos x=0$, откуда $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Косинус принимает это значение при $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и при $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ — две симметричные относительно нуля серии.

Проверим себя на одном значении: возьмём $x=\dfrac{\pi}{4}$. Тогда $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin^{2}x=\dfrac12$. Слева $2\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}+\sqrt{2}\cdot\dfrac12=2\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{8}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$, справа $2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. Совпало.

Переходим к пункту б. Нужно выбрать из найденных серий те числа, что попали на отрезок $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$. Чтобы не путаться в дробях, переведём всё в четверти $\pi$: $\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{10\pi}{4}$, а $4\pi=\dfrac{16\pi}{4}$. Значит нас интересуют числа вида $\dfrac{k\pi}{4}$, у которых $10\leqslant k\leqslant 16$.

Серия $x=\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{4\pi n}{4}$, то есть $k=4n$. Подходящие $k$ из промежутка от $10$ до $16$: при $n=3$ получаем $k=12$, то есть $x=3\pi$; при $n=4$ получаем $k=16$, то есть $x=4\pi$ (правый конец отрезка входит). При $n=2$ было бы $k=8$ — слишком мало.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(1+8n)\pi}{4}$, то есть $k=1+8n$: при $n=1$ выходит $k=9$ (мало), при $n=2$ выходит $k=17$ (много). Ни одного попадания.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(-1+8n)\pi}{4}$, то есть $k=8n-1$: при $n=1$ выходит $k=7$ (мало), при $n=2$ выходит $k=15$, и это как раз между $10$ и $16$ — подходит $x=\dfrac{15\pi}{4}$.

Собираем отобранные корни по возрастанию, сравнивая их номера $k$: $12$, $15$, $16$, то есть $3\pi$, $\dfrac{15\pi}{4}$, $4\pi$.