Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028776

Аргументы у синуса и косинуса здесь «сдвинутые»: $\dfrac{3\pi}{2}+x$ и $\pi-x$. Первое, что нужно сделать, — формулами приведения убрать эти сдвиги. После этого в уравнении останется только одна функция от $x$, и его получится разложить на множители.

Формула приведения даёт $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x$. Нас интересует квадрат этого выражения, а при возведении в квадрат минус исчезает: $\sin^{2}\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=\cos^{2}x$.

Вторая формула приведения: $\cos(\pi-x)=-\cos x$.

Подставляем обе замены в уравнение: $2\cos^{2}x-\cos x=0$. Осталась одна функция — косинус, причём в первой и второй степени.

Выносим общий множитель $\cos x$:

$$\cos x\left(2\cos x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Получаем два случая.

Первый случай: $\cos x=0$. Косинус обращается в ноль в точках $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, где $n$ — целое (это «верх» и «низ» единичной окружности, они идут через $\pi$).

Второй случай: $2\cos x-1=0$, то есть $\cos x=\dfrac12$. Это табличное значение, ему отвечают две симметричные серии: $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$.

Переходим к пункту б. Нужно отобрать корни, попавшие на отрезок $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]$. Переведём концы в шестые доли $\pi$: $-2\pi=-\dfrac{12\pi}{6}$, а $-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{3\pi}{6}$. Значит нас интересуют числа вида $\dfrac{k\pi}{6}$, у которых $-12\leqslant k\leqslant -3$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ в шестых долях — это $\dfrac{(3+6n)\pi}{6}$, то есть $k=3+6n$: при $n=-1$ выходит $k=-3$, то есть $x=-\dfrac{\pi}{2}$ (правый конец отрезка входит); при $n=-2$ выходит $k=-9$, то есть $x=-\dfrac{9\pi}{6}=-\dfrac{3\pi}{2}$ — тоже внутри; при $n=-3$ было бы $k=-15$ — левее отрезка.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ — это $\dfrac{(2+12n)\pi}{6}$, то есть $k=2+12n$: при $n=-1$ выходит $k=-10$, и $-12\leqslant -10\leqslant -3$ — подходит корень $x=-\dfrac{10\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{3}$; при $n=-2$ выходит $k=-22$ — слишком мало.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n-2)\pi}{6}$, то есть $k=12n-2$: при $n=0$ выходит $k=-2$ (правее отрезка), при $n=-1$ выходит $k=-14$ (левее отрезка). Попаданий нет.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров $k$ ($-10$, $-9$, $-3$): $-\dfrac{5\pi}{3}$, $-\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{\pi}{2}$.