а) Решите уравнение 2 синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3пи, знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка пи минус x правая круглая скобка равно 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 2пи; минус дробь: числитель: пи, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

а) x равно дробь: числитель: пи, знаменатель: 2 конец дроби плюс пиn , x равно дробь: числитель: пи, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2пиn , x равно минус дробь: числитель: пи, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2пиn , n принадлежит Z б) минус дробь: числитель: 5пи, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3пи, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: пи, знаменатель: 2 конец дроби

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус в квадрате левая круглая скобка…

№2. Задание 13

ID: 00028776

а) Решите уравнение $2\sin^{2}\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)+\cos(\pi-x)=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Аргументы у синуса и косинуса здесь «сдвинутые»: $\dfrac{3\pi}{2}+x$ и $\pi-x$ . Первое, что нужно сделать, — формулами приведения убрать эти сдвиги. После этого в уравнении останется только одна функция от $x$ , и его получится разложить на множители.

Формула приведения даёт $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x$ . Нас интересует квадрат этого выражения, а при возведении в квадрат минус исчезает: $\sin^{2}\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=\cos^{2}x$ .

Вторая формула приведения: $\cos(\pi-x)=-\cos x$ .

Подставляем обе замены в уравнение: $2\cos^{2}x-\cos x=0$ . Осталась одна функция — косинус, причём в первой и второй степени.

Выносим общий множитель $\cos x$ :

$\cos x\left(2\cos x-1\right)=0.$

Произведение равно нулю, когда ноль хотя бы один множитель. Получаем два случая.

Первый случай: $\cos x=0$ . Косинус обращается в ноль в точках $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ , где $n$ — целое (это «верх» и «низ» единичной окружности, они идут через $\pi$ ).

Второй случай: $2\cos x-1=0$ , то есть $\cos x=\dfrac12$ . Это табличное значение, ему отвечают две симметричные серии: $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ .

Переходим к пункту б. Нужно отобрать корни, попавшие на отрезок $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]$ . Переведём концы в шестые доли $\pi$ : $-2\pi=-\dfrac{12\pi}{6}$ , а $-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{3\pi}{6}$ . Значит нас интересуют числа вида $\dfrac{k\pi}{6}$ , у которых $-12\leqslant k\leqslant -3$ .

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ в шестых долях — это $\dfrac{(3+6n)\pi}{6}$ , то есть $k=3+6n$ : при $n=-1$ выходит $k=-3$ , то есть $x=-\dfrac{\pi}{2}$ (правый конец отрезка входит); при $n=-2$ выходит $k=-9$ , то есть $x=-\dfrac{9\pi}{6}=-\dfrac{3\pi}{2}$ — тоже внутри; при $n=-3$ было бы $k=-15$ — левее отрезка.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ — это $\dfrac{(2+12n)\pi}{6}$ , то есть $k=2+12n$ : при $n=-1$ выходит $k=-10$ , и $-12\leqslant -10\leqslant -3$ — подходит корень $x=-\dfrac{10\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{3}$ ; при $n=-2$ выходит $k=-22$ — слишком мало.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ — это $\dfrac{(12n-2)\pi}{6}$ , то есть $k=12n-2$ : при $n=0$ выходит $k=-2$ (правее отрезка), при $n=-1$ выходит $k=-14$ (левее отрезка). Попаданий нет.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров $k$ ( $-10$ , $-9$ , $-3$ ): $-\dfrac{5\pi}{3}$ , $-\dfrac{3\pi}{2}$ , $-\dfrac{\pi}{2}$ .

Ответ

а) $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ , $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ , $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{5\pi}{3};\ -\dfrac{3\pi}{2};\ -\dfrac{\pi}{2}$