Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028777

В уравнении соседствуют косинус двойного угла и косинус со сдвинутым аргументом. Задача первого шага — свести всё к одной и той же функции от $x$. Сдвиг убирается формулой приведения, а двойной угол — формулой косинуса двойного угла.

Формула приведения даёт $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x$. Это удобно проверить на конкретном значении: при $x=0$ слева $\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$ и справа $\sin 0=0$; при $x=\dfrac{\pi}{2}$ слева $\cos 2\pi=1$ и справа $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$.

Косинус двойного угла берём в том виде, где остаётся только синус: $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$. Тогда $\cos 2x-1=-2\sin^{2}x$.

Подставляем обе замены в уравнение: $-2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x=0$. Осталась одна функция — синус.

Выносим общий множитель $-\sin x$:

$$-\sin x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Множитель $-1$ на равенство нулю не влияет, поэтому произведение равно нулю в двух случаях.

Первый случай: $\sin x=0$, откуда $x=\pi n$, где $n$ — любое целое.

Второй случай: $2\sin x+\sqrt{2}=0$, то есть $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение; ему отвечают две серии: $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ (точка в четвёртой четверти) и $x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n$ (симметричная ей точка в третьей четверти).

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$. Переведём концы в четверти $\pi$: $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{6\pi}{4}$, а $3\pi=\dfrac{12\pi}{4}$. Значит нас интересуют числа вида $\dfrac{k\pi}{4}$, у которых $6\leqslant k\leqslant 12$.

Серия $x=\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{4\pi n}{4}$, то есть $k=4n$: при $n=1$ выходит $k=4$ (мало), при $n=2$ выходит $k=8$ — подходит корень $x=2\pi$; при $n=3$ выходит $k=12$ — это ровно правый конец, он входит, корень $x=3\pi$.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(8n-1)\pi}{4}$, то есть $k=8n-1$: при $n=1$ выходит $k=7$, и $6\leqslant 7\leqslant 12$ — подходит корень $x=\dfrac{7\pi}{4}$; при $n=2$ выходит $k=15$ — за правым концом.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(5+8n)\pi}{4}$, то есть $k=5+8n$: при $n=0$ выходит $k=5$ (чуть левее отрезка), при $n=1$ выходит $k=13$ (чуть правее). Попаданий нет.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров $k$ ($7$, $8$, $12$): $\dfrac{7\pi}{4}$, $2\pi$, $3\pi$.