а) Решите уравнение косинус 2x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3пи, знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус 1 равно 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: 3пи, знаменатель: 2 конец дроби ; 3пи правая квадратная скобка .

а) x равно пиn , x равно минус дробь: числитель: пи, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2пиn , x равно дробь: числитель: 5пи, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2пиn , n принадлежит Z б) дробь: числитель: 7пи, знаменатель: 4 конец дроби ; 2пи; 3пи

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение косинус 2x минус корень из: начало…

№2. Задание 13

ID: 00028777

а) Решите уравнение $\cos 2x-\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)-1=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В уравнении соседствуют косинус двойного угла и косинус со сдвинутым аргументом. Задача первого шага — свести всё к одной и той же функции от $x$ . Сдвиг убирается формулой приведения, а двойной угол — формулой косинуса двойного угла.

Формула приведения даёт $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x$ . Это удобно проверить на конкретном значении: при $x=0$ слева $\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$ и справа $\sin 0=0$ ; при $x=\dfrac{\pi}{2}$ слева $\cos 2\pi=1$ и справа $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ .

Косинус двойного угла берём в том виде, где остаётся только синус: $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$ . Тогда $\cos 2x-1=-2\sin^{2}x$ .

Подставляем обе замены в уравнение: $-2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x=0$ . Осталась одна функция — синус.

Выносим общий множитель $-\sin x$ :

$-\sin x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.$

Множитель $-1$ на равенство нулю не влияет, поэтому произведение равно нулю в двух случаях.

Первый случай: $\sin x=0$ , откуда $x=\pi n$ , где $n$ — любое целое.

Второй случай: $2\sin x+\sqrt{2}=0$ , то есть $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Это табличное значение; ему отвечают две серии: $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ (точка в четвёртой четверти) и $x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n$ (симметричная ей точка в третьей четверти).

Переходим к пункту б. Отбираем корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ . Переведём концы в четверти $\pi$ : $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{6\pi}{4}$ , а $3\pi=\dfrac{12\pi}{4}$ . Значит нас интересуют числа вида $\dfrac{k\pi}{4}$ , у которых $6\leqslant k\leqslant 12$ .

Серия $x=\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{4\pi n}{4}$ , то есть $k=4n$ : при $n=1$ выходит $k=4$ (мало), при $n=2$ выходит $k=8$ — подходит корень $x=2\pi$ ; при $n=3$ выходит $k=12$ — это ровно правый конец, он входит, корень $x=3\pi$ .

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(8n-1)\pi}{4}$ , то есть $k=8n-1$ : при $n=1$ выходит $k=7$ , и $6\leqslant 7\leqslant 12$ — подходит корень $x=\dfrac{7\pi}{4}$ ; при $n=2$ выходит $k=15$ — за правым концом.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(5+8n)\pi}{4}$ , то есть $k=5+8n$ : при $n=0$ выходит $k=5$ (чуть левее отрезка), при $n=1$ выходит $k=13$ (чуть правее). Попаданий нет.

Расставляем отобранное по возрастанию номеров $k$ ( $7$ , $8$ , $12$ ): $\dfrac{7\pi}{4}$ , $2\pi$ , $3\pi$ .

Ответ

а) $x=\pi n$ , $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ , $x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $\dfrac{7\pi}{4};\ 2\pi;\ 3\pi$