Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение синус x умножить на косинус 2x плюс корень…

В уравнении три слагаемых, и два из них содержат \sin x. Это подсказка: сгруппируем их и вынесем общий множитель, а косинус двойного угла раскроем так, чтобы получилось что-то удобное.

Группируем первое и третье слагаемые: \sin x\cdot\cos 2x+\sin x=\sin x\left(\cos 2x+1\right). Уравнение принимает вид \sin x\left(\cos 2x+1\right)+\sqrt{2}\cos^{2}x=0.

Теперь раскроем косинус двойного угла в той форме, где остаются только косинусы: \cos 2x=2\cos^{2}x-1. Тогда \cos 2x+1=2\cos^{2}x-1+1=2\cos^{2}x.

Подставляем и получаем 2\sin x\cos^{2}x+\sqrt{2}\cos^{2}x=0. Теперь в обоих слагаемых есть множитель \cos^{2}x — выносим его за скобку:

\cos^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.

Делить на \cos^{2}x нельзя — так мы потеряли бы целую серию корней. Пользуемся тем, что произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Отсюда два случая.

Первый случай: \cos^{2}x=0, что равносильно \cos x=0. Косинус обращается в ноль в верхней и нижней точках тригонометрической окружности, поэтому x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Второй случай: 2\sin x+\sqrt{2}=0, то есть \sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Значение табличное и лежит в допустимом отрезке [-1;1], значит решения есть. Синус отрицателен в нижней половине окружности, и там ему отвечают две точки: x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n и x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Переходим к пункту б: отбираем корни из отрезка \left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]. Все серии выражены через четверти \pi, поэтому и концы отрезка переведём в четверти: \dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{6\pi}{4} и 3\pi=\dfrac{12\pi}{4}. Значит подходят корни, у которых числитель в четвертях лежит между 6 и 12 включительно.

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n в четвертях — это \dfrac{(2+4n)\pi}{4}: при n=1 числитель 2+4=6, то есть x=\dfrac{6\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2} — это ровно левый конец отрезка, а он закрашен, значит корень входит; при n=2 числитель 2+8=10, то есть x=\dfrac{10\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{2} — подходит; при n=3 числитель 14 — больше 12, вне отрезка.

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n в четвертях — это \dfrac{(-1+8n)\pi}{4}: при n=1 числитель -1+8=7, то есть x=\dfrac{7\pi}{4} — число 7 лежит между 6 и 12, подходит; при n=2 числитель 15 — вне.

Серия x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n в четвертях — это \dfrac{(-3+8n)\pi}{4}: при n=1 числитель 5 — это меньше 6, левее отрезка; при n=2 числитель 13 — больше 12, правее. Из этой серии ничего не подходит.

Выписываем отобранные корни по возрастанию: \dfrac{3\pi}{2} (это \dfrac{6\pi}{4}), затем \dfrac{7\pi}{4}, затем \dfrac{5\pi}{2} (это \dfrac{10\pi}{4}).