Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028767

В уравнении три слагаемых, и два из них содержат $\sin x$. Это подсказка: сгруппируем их и вынесем общий множитель, а косинус двойного угла раскроем так, чтобы получилось что-то удобное.

Группируем первое и третье слагаемые: $\sin x\cdot\cos 2x+\sin x=\sin x\left(\cos 2x+1\right)$. Уравнение принимает вид $\sin x\left(\cos 2x+1\right)+\sqrt{2}\cos^{2}x=0$.

Теперь раскроем косинус двойного угла в той форме, где остаются только косинусы: $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$. Тогда $\cos 2x+1=2\cos^{2}x-1+1=2\cos^{2}x$.

Подставляем и получаем $2\sin x\cos^{2}x+\sqrt{2}\cos^{2}x=0$. Теперь в обоих слагаемых есть множитель $\cos^{2}x$ — выносим его за скобку:

$$\cos^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Делить на $\cos^{2}x$ нельзя — так мы потеряли бы целую серию корней. Пользуемся тем, что произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Отсюда два случая.

Первый случай: $\cos^{2}x=0$, что равносильно $\cos x=0$. Косинус обращается в ноль в верхней и нижней точках тригонометрической окружности, поэтому $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Второй случай: $2\sin x+\sqrt{2}=0$, то есть $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Значение табличное и лежит в допустимом отрезке $[-1;1]$, значит решения есть. Синус отрицателен в нижней половине окружности, и там ему отвечают две точки: $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Переходим к пункту б: отбираем корни из отрезка $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$. Все серии выражены через четверти $\pi$, поэтому и концы отрезка переведём в четверти: $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{6\pi}{4}$ и $3\pi=\dfrac{12\pi}{4}$. Значит подходят корни, у которых числитель в четвертях лежит между $6$ и $12$ включительно.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{(2+4n)\pi}{4}$: при $n=1$ числитель $2+4=6$, то есть $x=\dfrac{6\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}$ — это ровно левый конец отрезка, а он закрашен, значит корень входит; при $n=2$ числитель $2+8=10$, то есть $x=\dfrac{10\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{2}$ — подходит; при $n=3$ числитель $14$ — больше $12$, вне отрезка.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{(-1+8n)\pi}{4}$: при $n=1$ числитель $-1+8=7$, то есть $x=\dfrac{7\pi}{4}$ — число $7$ лежит между $6$ и $12$, подходит; при $n=2$ числитель $15$ — вне.

Серия $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{(-3+8n)\pi}{4}$: при $n=1$ числитель $5$ — это меньше $6$, левее отрезка; при $n=2$ числитель $13$ — больше $12$, правее. Из этой серии ничего не подходит.

Выписываем отобранные корни по возрастанию: $\dfrac{3\pi}{2}$ (это $\dfrac{6\pi}{4}$), затем $\dfrac{7\pi}{4}$, затем $\dfrac{5\pi}{2}$ (это $\dfrac{10\pi}{4}$).