Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус в кубе x равно корень из: начало…

В уравнении есть и синус в кубе, и квадрат косинуса. Прямо так решать неудобно, поэтому соберём всё в одну сторону и попробуем разложить на множители — это самый рабочий приём для таких уравнений.

Переносим слагаемые с синусом в левую часть: 2\sin^{3}x-2\sin x=\sqrt{2}\cos^{2}x.

Слева выносим общий множитель 2\sin x: получаем 2\sin x\left(\sin^{2}x-1\right).

Теперь вспомним основное тригонометрическое тождество \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Из него \sin^{2}x-1=-\cos^{2}x. Значит левая часть равна -2\sin x\cos^{2}x.

Уравнение стало таким: -2\sin x\cos^{2}x=\sqrt{2}\cos^{2}x. Переносим всё влево:

-2\sin x\cos^{2}x-\sqrt{2}\cos^{2}x=0,\qquad \text{то есть}\qquad -\cos^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.

Умножим на -1: \cos^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Разбираем два случая.

Первый случай: \cos^{2}x=0, а это то же самое, что \cos x=0. Косинус обращается в ноль в верхней и нижней точках окружности: x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Второй случай: 2\sin x+\sqrt{2}=0, то есть \sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Это табличное значение; синус отрицателен в нижней половине окружности, и там две точки: x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n и x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Переходим к пункту б: отбираем корни из отрезка \left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]. Все серии выражены через четверти \pi, поэтому и концы переведём в четверти: -4\pi=-\dfrac{16\pi}{4} и -\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{10\pi}{4}. Подходят корни, у которых числитель в четвертях лежит между -16 и -10 включительно.

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n в четвертях — это \dfrac{(2+4n)\pi}{4}: при n=-3 числитель 2-12=-10, то есть x=-\dfrac{10\pi}{4}=-\dfrac{5\pi}{2} — это правый конец отрезка, он закрашен, корень входит; при n=-4 числитель 2-16=-14, то есть x=-\dfrac{14\pi}{4}=-\dfrac{7\pi}{2} — подходит; при n=-5 числитель -18 — вне отрезка.

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n — это \dfrac{(-1+8n)\pi}{4}: при n=-1 числитель -9 — это правее -10, не подходит; при n=-2 числитель -17 — левее -16, тоже не подходит.

Серия x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n — это \dfrac{(-3+8n)\pi}{4}: при n=-1 числитель -11, то есть x=-\dfrac{11\pi}{4} — лежит между -16 и -10, подходит; при n=-2 числитель -19 — вне.

Выписываем отобранные корни по возрастанию: -\dfrac{7\pi}{2} (это -\dfrac{14\pi}{4}), затем -\dfrac{11\pi}{4}, затем -\dfrac{5\pi}{2} (это -\dfrac{10\pi}{4}).