Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028765

В уравнении есть и синус в кубе, и квадрат косинуса. Прямо так решать неудобно, поэтому соберём всё в одну сторону и попробуем разложить на множители — это самый рабочий приём для таких уравнений.

Переносим слагаемые с синусом в левую часть: $2\sin^{3}x-2\sin x=\sqrt{2}\cos^{2}x$.

Слева выносим общий множитель $2\sin x$: получаем $2\sin x\left(\sin^{2}x-1\right)$.

Теперь вспомним основное тригонометрическое тождество $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$. Из него $\sin^{2}x-1=-\cos^{2}x$. Значит левая часть равна $-2\sin x\cos^{2}x$.

Уравнение стало таким: $-2\sin x\cos^{2}x=\sqrt{2}\cos^{2}x$. Переносим всё влево:

$$-2\sin x\cos^{2}x-\sqrt{2}\cos^{2}x=0,\qquad \text{то есть}\qquad -\cos^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Умножим на $-1$: $\cos^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Разбираем два случая.

Первый случай: $\cos^{2}x=0$, а это то же самое, что $\cos x=0$. Косинус обращается в ноль в верхней и нижней точках окружности: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Второй случай: $2\sin x+\sqrt{2}=0$, то есть $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение; синус отрицателен в нижней половине окружности, и там две точки: $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Переходим к пункту б: отбираем корни из отрезка $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]$. Все серии выражены через четверти $\pi$, поэтому и концы переведём в четверти: $-4\pi=-\dfrac{16\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{10\pi}{4}$. Подходят корни, у которых числитель в четвертях лежит между $-16$ и $-10$ включительно.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{(2+4n)\pi}{4}$: при $n=-3$ числитель $2-12=-10$, то есть $x=-\dfrac{10\pi}{4}=-\dfrac{5\pi}{2}$ — это правый конец отрезка, он закрашен, корень входит; при $n=-4$ числитель $2-16=-14$, то есть $x=-\dfrac{14\pi}{4}=-\dfrac{7\pi}{2}$ — подходит; при $n=-5$ числитель $-18$ — вне отрезка.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(-1+8n)\pi}{4}$: при $n=-1$ числитель $-9$ — это правее $-10$, не подходит; при $n=-2$ числитель $-17$ — левее $-16$, тоже не подходит.

Серия $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ — это $\dfrac{(-3+8n)\pi}{4}$: при $n=-1$ числитель $-11$, то есть $x=-\dfrac{11\pi}{4}$ — лежит между $-16$ и $-10$, подходит; при $n=-2$ числитель $-19$ — вне.

Выписываем отобранные корни по возрастанию: $-\dfrac{7\pi}{2}$ (это $-\dfrac{14\pi}{4}$), затем $-\dfrac{11\pi}{4}$, затем $-\dfrac{5\pi}{2}$ (это $-\dfrac{10\pi}{4}$).