Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028764

В уравнении два слагаемых: квадрат синуса со сдвигом и синус двойного угла. Чтобы всё связать, приведём каждое слагаемое к синусу и косинусу самого угла $x$ — тогда получится уравнение, которое разложится на множители.

Первое преобразование — формула приведения: $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$. Значит первое слагаемое равно $2\cos^{2}x$.

Второе — формула синуса двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

Уравнение принимает вид $2\cos^{2}x+2\sin x\cos x=0$.

Оба слагаемых содержат множители $2$ и $\cos x$ — вынесем их за скобку:

$$2\cos x\left(\cos x+\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю (двойка нулём быть не может). Отсюда два случая.

Первый случай: $\cos x=0$. Косинус обращается в ноль в верхней и нижней точках окружности, поэтому $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Второй случай: $\cos x+\sin x=0$. Здесь важно заметить: $\cos x$ и $\sin x$ не могут обратиться в ноль одновременно, поэтому в этом случае $\cos x\neq 0$ и на него можно разделить. Делим: $1+\operatorname{tg}x=0$, то есть $\operatorname{tg}x=-1$.

Тангенс равен $-1$ при $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$ — период тангенса равен $\pi$, поэтому серия одна.

Переходим к пункту б: отбираем корни из отрезка $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$. Все корни выражены через четверти $\pi$, поэтому и концы отрезка переведём в четверти: $3\pi=\dfrac{12\pi}{4}$ и $\dfrac{9\pi}{2}=\dfrac{18\pi}{4}$. Значит подходят те корни, у которых числитель в четвертях лежит между $12$ и $18$ включительно.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ в четвертях выглядит как $\dfrac{(2+4n)\pi}{4}$: при $n=2$ числитель $10$ — меньше $12$, не подходит; при $n=3$ числитель $14$, то есть $x=\dfrac{14\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{2}$ — подходит; при $n=4$ числитель $18$, то есть $x=\dfrac{18\pi}{4}=\dfrac{9\pi}{2}$ — это ровно правый конец отрезка, он закрашен, значит корень входит; при $n=5$ числитель $22$ — уже вне.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$ в четвертях выглядит как $\dfrac{(-1+4n)\pi}{4}$: при $n=3$ числитель $11$ — меньше $12$, не подходит; при $n=4$ числитель $15$, то есть $x=\dfrac{15\pi}{4}$ — подходит; при $n=5$ числитель $19$ — больше $18$, не подходит.

Выписываем отобранные корни по возрастанию: $\dfrac{7\pi}{2}$ (это $\dfrac{14\pi}{4}$), затем $\dfrac{15\pi}{4}$, затем $\dfrac{9\pi}{2}$ (это $\dfrac{18\pi}{4}$).