Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус в квадрате левая круглая скобка…

В уравнении два слагаемых: квадрат синуса со сдвигом и синус двойного угла. Чтобы всё связать, приведём каждое слагаемое к синусу и косинусу самого угла x — тогда получится уравнение, которое разложится на множители.

Первое преобразование — формула приведения: \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. Значит первое слагаемое равно 2\cos^{2}x.

Второе — формула синуса двойного угла: \sin 2x=2\sin x\cos x.

Уравнение принимает вид 2\cos^{2}x+2\sin x\cos x=0.

Оба слагаемых содержат множители 2 и \cos x — вынесем их за скобку:

2\cos x\left(\cos x+\sin x\right)=0.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю (двойка нулём быть не может). Отсюда два случая.

Первый случай: \cos x=0. Косинус обращается в ноль в верхней и нижней точках окружности, поэтому x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Второй случай: \cos x+\sin x=0. Здесь важно заметить: \cos x и \sin x не могут обратиться в ноль одновременно, поэтому в этом случае \cos x\neq 0 и на него можно разделить. Делим: 1+\operatorname{tg}x=0, то есть \operatorname{tg}x=-1.

Тангенс равен -1 при x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n, n\in\mathbb{Z} — период тангенса равен \pi, поэтому серия одна.

Переходим к пункту б: отбираем корни из отрезка \left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]. Все корни выражены через четверти \pi, поэтому и концы отрезка переведём в четверти: 3\pi=\dfrac{12\pi}{4} и \dfrac{9\pi}{2}=\dfrac{18\pi}{4}. Значит подходят те корни, у которых числитель в четвертях лежит между 12 и 18 включительно.

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n в четвертях выглядит как \dfrac{(2+4n)\pi}{4}: при n=2 числитель 10 — меньше 12, не подходит; при n=3 числитель 14, то есть x=\dfrac{14\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{2} — подходит; при n=4 числитель 18, то есть x=\dfrac{18\pi}{4}=\dfrac{9\pi}{2} — это ровно правый конец отрезка, он закрашен, значит корень входит; при n=5 числитель 22 — уже вне.

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n в четвертях выглядит как \dfrac{(-1+4n)\pi}{4}: при n=3 числитель 11 — меньше 12, не подходит; при n=4 числитель 15, то есть x=\dfrac{15\pi}{4} — подходит; при n=5 числитель 19 — больше 18, не подходит.

Выписываем отобранные корни по возрастанию: \dfrac{7\pi}{2} (это \dfrac{14\pi}{4}), затем \dfrac{15\pi}{4}, затем \dfrac{9\pi}{2} (это \dfrac{18\pi}{4}).