Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028762

В уравнении три разных «тригонометрических кусочка»: косинус двойного угла, синус со сдвигом на $\dfrac{\pi}{2}$ и просто число. Задача — свести всё к одной и той же функции одного и того же угла. Здесь удобнее всего свести всё к $\cos x$.

Сначала разбираемся со сдвигом. По формуле приведения $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$: сдвиг на четверть оборота превращает синус в косинус.

Дальше раскрываем косинус двойного угла той формулой, где остаются только косинусы: $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$.

Подставляем всё в уравнение: $2\cos^{2}x-1+\sqrt{3}\cos x+1=0$. Числа $-1$ и $+1$ взаимно уничтожаются, остаётся

$$2\cos^{2}x+\sqrt{3}\cos x=0.$$

Свободного члена нет, поэтому вместо дискриминанта проще вынести общий множитель $\cos x$ за скобку:

$$\cos x\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Отсюда два случая.

Первый случай: $\cos x=0$. Косинус обращается в ноль в верхней и нижней точках окружности, то есть $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Второй случай: $2\cos x+\sqrt{3}=0$, то есть $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Это табличное значение; ему отвечают углы $x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Заметим, что $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx -0{,}87$ лежит в отрезке $[-1;1]$, так что решения действительно есть.

Переходим к пункту б: отбираем корни на отрезке $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$. Переведём всё в шестые доли $\pi$, чтобы сравнивать целые числа: левый конец $-3\pi=-\dfrac{18\pi}{6}$, правый конец $-\dfrac{3\pi}{2}=-\dfrac{9\pi}{6}$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n=\dfrac{3\pi}{6}+\pi n$: при $n=-2$ получаем $\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=-\dfrac{9\pi}{6}$ — это ровно правый конец отрезка, а он закрашенный, значит корень подходит. При $n=-3$ получаем $\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{18\pi}{6}=-\dfrac{15\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{2}$, и $-18\lt -15\lt -9$ — подходит. При $n=-4$ будет $-\dfrac{21\pi}{6}$ — левее отрезка.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$: при $n=-1$ получаем $\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{6}$ — правее отрезка; при $n=-2$ получаем $-\dfrac{19\pi}{6}$ — левее. Ничего не подходит.

Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$: при $n=-1$ получаем $-\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=-\dfrac{17\pi}{6}$, и $-18\lt -17\lt -9$ — подходит. При $n=-2$ будет $-\dfrac{29\pi}{6}$ — далеко влево.

Выписываем отобранные корни по возрастанию: $-\dfrac{17\pi}{6}$, затем $-\dfrac{5\pi}{2}$ (то есть $-\dfrac{15\pi}{6}$), затем $-\dfrac{3\pi}{2}$ (то есть $-\dfrac{9\pi}{6}$).