а) Решите уравнение косинус 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус левая круглая скобка дробь: числитель: пи, знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 1 равно 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 3пи; минус дробь: числитель: 3пи, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

а) x равно дробь: числитель: пи, знаменатель: 2 конец дроби плюс пиn , x равно плюс-минус дробь: числитель: 5пи, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2пиn , n принадлежит Z б) минус дробь: числитель: 17пи, знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5пи, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3пи, знаменатель: 2 конец дроби

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение косинус 2x плюс корень из: начало аргумента:…

№2. Задание 13

ID: 00028762

а) Решите уравнение $\cos 2x+\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+1=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В уравнении три разных «тригонометрических кусочка»: косинус двойного угла, синус со сдвигом на $\dfrac{\pi}{2}$ и просто число. Задача — свести всё к одной и той же функции одного и того же угла. Здесь удобнее всего свести всё к $\cos x$ .

Сначала разбираемся со сдвигом. По формуле приведения $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$ : сдвиг на четверть оборота превращает синус в косинус.

Дальше раскрываем косинус двойного угла той формулой, где остаются только косинусы: $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$ .

Подставляем всё в уравнение: $2\cos^{2}x-1+\sqrt{3}\cos x+1=0$ . Числа $-1$ и $+1$ взаимно уничтожаются, остаётся

$2\cos^{2}x+\sqrt{3}\cos x=0.$

Свободного члена нет, поэтому вместо дискриминанта проще вынести общий множитель $\cos x$ за скобку:

$\cos x\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)=0.$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Отсюда два случая.

Первый случай: $\cos x=0$ . Косинус обращается в ноль в верхней и нижней точках окружности, то есть $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ .

Второй случай: $2\cos x+\sqrt{3}=0$ , то есть $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Это табличное значение; ему отвечают углы $x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ . Заметим, что $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx -0{,}87$ лежит в отрезке $[-1;1]$ , так что решения действительно есть.

Переходим к пункту б: отбираем корни на отрезке $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$ . Переведём всё в шестые доли $\pi$ , чтобы сравнивать целые числа: левый конец $-3\pi=-\dfrac{18\pi}{6}$ , правый конец $-\dfrac{3\pi}{2}=-\dfrac{9\pi}{6}$ .

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n=\dfrac{3\pi}{6}+\pi n$ : при $n=-2$ получаем $\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=-\dfrac{9\pi}{6}$ — это ровно правый конец отрезка, а он закрашенный, значит корень подходит. При $n=-3$ получаем $\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{18\pi}{6}=-\dfrac{15\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{2}$ , и $-18\lt -15\lt -9$ — подходит. При $n=-4$ будет $-\dfrac{21\pi}{6}$ — левее отрезка.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ : при $n=-1$ получаем $\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{6}$ — правее отрезка; при $n=-2$ получаем $-\dfrac{19\pi}{6}$ — левее. Ничего не подходит.

Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ : при $n=-1$ получаем $-\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=-\dfrac{17\pi}{6}$ , и $-18\lt -17\lt -9$ — подходит. При $n=-2$ будет $-\dfrac{29\pi}{6}$ — далеко влево.

Выписываем отобранные корни по возрастанию: $-\dfrac{17\pi}{6}$ , затем $-\dfrac{5\pi}{2}$ (то есть $-\dfrac{15\pi}{6}$ ), затем $-\dfrac{3\pi}{2}$ (то есть $-\dfrac{9\pi}{6}$ ).

Ответ

а) $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ , $x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{17\pi}{6};\ -\dfrac{5\pi}{2};\ -\dfrac{3\pi}{2}$