Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028761

В уравнении встречаются косинусы разных аргументов: $2x$ и $-x$. Чтобы уравнение стало решаемым, надо привести всё к косинусу одного и того же угла $x$ — тогда получится обычное квадратное уравнение.

Сначала уберём минус: косинус — чётная функция, то есть $\cos(-x)=\cos x$. Знак аргумента на значение косинуса не влияет.

Теперь раскроем косинус двойного угла. Есть формула $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$ — именно она удобна, потому что оставляет только косинусы.

Подставляем: $2\cos^{2}x-1+\cos x=0$.

Сделаем замену: пусть $c=\cos x$. Тогда $2c^{2}+c-1=0$. Не забудем ограничение: косинус принимает значения только от $-1$ до $1$, поэтому подойдут лишь корни из отрезка $[-1;1]$.

Считаем дискриминант: $D=1^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9$, $\sqrt{9}=3$. Корни: $c_{1}=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ и $c_{2}=\dfrac{-1-3}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1$. Оба лежат в $[-1;1]$, оба годятся.

Возвращаемся к $x$. Случай $\cos x=\dfrac{1}{2}$: это классическое значение, ему отвечают углы $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$ (косинус равен $\tfrac12$ в двух точках окружности, симметричных относительно горизонтальной оси).

Случай $\cos x=-1$: косинус достигает своего наименьшего значения ровно в одной точке окружности, поэтому $x=\pi+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Переходим к пункту б. Нужно отобрать корни, попавшие на отрезок $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$. Переведём концы в третьи доли $\pi$, потому что все корни выражены через трети: $-\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{21\pi}{6}$ и $-2\pi=-\dfrac{12\pi}{6}$; в шестых долях сравнивать будет удобнее всего, поэтому и корни переведём в шестые.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n=\dfrac{2\pi}{6}+2\pi n$: при $n=-1$ получаем $-\dfrac{10\pi}{6}$ — это правее $-\dfrac{12\pi}{6}$, значит вне отрезка; при $n=-2$ получаем $-\dfrac{22\pi}{6}$ — левее $-\dfrac{21\pi}{6}$, тоже вне. Из этой серии ничего не подходит.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n=-\dfrac{2\pi}{6}+2\pi n$: при $n=-1$ получаем $-\dfrac{2\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=-\dfrac{14\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{3}$. Проверяем: $-21\lt -14\lt -12$, значит точка внутри отрезка — подходит. При $n=-2$ будет $-\dfrac{26\pi}{6}$ — слишком далеко влево.

Серия $x=\pi+2\pi n=\dfrac{6\pi}{6}+2\pi n$: при $n=-1$ получаем $-\dfrac{6\pi}{6}=-\pi$ — правее отрезка; при $n=-2$ получаем $\dfrac{6\pi}{6}-\dfrac{24\pi}{6}=-\dfrac{18\pi}{6}=-3\pi$. Здесь $-21\lt -18\lt -12$, значит подходит. При $n=-3$ будет $-5\pi$ — далеко влево.

Выписываем отобранные корни в порядке возрастания: $-3\pi$ и $-\dfrac{7\pi}{3}$.