Задание 14 ЕГЭ по математике №00028755

Ключ к этой задаче спрятан в формулировке «через середину диагонали проведена плоскость перпендикулярно этой диагонали». Такая плоскость называется серединной перпендикулярной плоскостью отрезка $AC_1$, и у неё есть замечательное свойство: она состоит ровно из тех точек пространства, которые одинаково удалены от концов $A$ и $C_1$.

Почему так: если точка $X$ лежит в $\alpha$, то отрезок $XM$ перпендикулярен $AC_1$, поэтому треугольники $XMA$ и $XMC_1$ прямоугольные, у них общий катет $XM$ и равные катеты $MA=MC_1$ (ведь $M$ — середина). По теореме Пифагора тогда $XA=XC_1$. И наоборот: если $XA=XC_1$, то треугольник $AXC_1$ равнобедренный, его медиана $XM$ является высотой, то есть $XM\perp AC_1$, и точка попадает в $\alpha$.

Дальше всё сводится к сравнению расстояний — само сечение строить не придётся. Выпишем размеры: $AB=CD=5$, $BC=AD=3$, боковые рёбра равны $4$.

Пункт а (доказательство).

Нужно проверить, что $D_1A=D_1C_1$.

Отрезок $D_1C_1$ — это ребро верхнего основания, а верхнее основание равно нижнему, поэтому $D_1C_1=DC=AB=5$.

Отрезок $AD_1$ — диагональ боковой грани $ADD_1A_1$. Эта грань — прямоугольник со сторонами $AD=3$ и $DD_1=AA_1=4$, поэтому по теореме Пифагора

$AD_1=\sqrt{AD^2+DD_1^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

Получили $D_1A=D_1C_1=5$, то есть точка $D_1$ равноудалена от концов диагонали $AC_1$. Значит она лежит в серединной перпендикулярной плоскости этой диагонали, то есть в плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Пусть плоскость $\alpha$ пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $X$, и пусть $A_1X=x$. Тогда $XB_1=5-x$. По доказанному свойству точка $X$ обязана быть равноудалённой от $A$ и от $C_1$, и это даёт уравнение.

Сначала $XA$. Боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно верхнему основанию, значит треугольник $AA_1X$ прямоугольный с прямым углом при $A_1$:

$XA^2=A_1X^2+AA_1^2=x^2+4^2=x^2+16$.

Теперь $XC_1$. Обе точки лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, а это прямоугольник, поэтому угол при вершине $B_1$ прямой, и треугольник $XB_1C_1$ прямоугольный:

$XC_1^2=XB_1^2+B_1C_1^2=(5-x)^2+3^2=(5-x)^2+9$.

Приравниваем и решаем:

$x^2+16=(5-x)^2+9$

$x^2+16=25-10x+x^2+9$

$16=34-10x$

$10x=18$, откуда $x=1{,}8$.

Значит $A_1X=1{,}8$, а $XB_1=5-1{,}8=3{,}2$, и искомое отношение равно

$A_1X:XB_1=1{,}8:3{,}2=18:32=9:16$.

Проверим себя: $1{,}8$ действительно попадает внутрь отрезка длины $5$, значит плоскость и вправду пересекает ребро $A_1B_1$, а не проходит мимо. И точка ближе к $A_1$ — логично, ведь $A_1$ ближе к $A$, а $\alpha$ отсекает «сторону $A$» от «стороны $C_1$».